WikiSort.ru - Не сортированное

Набросок доказательства

В этом случае найдутся различные точки ${\displaystyle a,b,c}$ , для которых

${\displaystyle f(a)=b,\quad f(b)=c,\quad f(c)=a.}$

Можно без ограничения общности считать, что ${\displaystyle a<b<c}$ .

Тогда для отрезков ${\displaystyle I_{0}=[a,b]}$ и ${\displaystyle I_{1}=[b,c]}$ выполнено

${\displaystyle f(I_{0})\supset I_{1},\quad f(I_{1})\supset I_{0}\cup I_{1}.}$

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова ${\displaystyle w=w_{0}w_{1}\dots w_{k-1}}$ , составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал ${\displaystyle I_{w}}$ , что

${\displaystyle f^{j}(I_{w})\subset I_{w_{j}},\quad j=1,\dots ,k-2,}$

${\displaystyle f^{k-1}(I_{w})=I_{w_{k-1}}.}$

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода ${\displaystyle k}$ : достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово ${\displaystyle \omega =(w),\ |w|=k}$ наименьшего периода ${\displaystyle k}$ без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка ${\displaystyle I_{w}}$ выполнено

${\displaystyle f^{k}(I_{w})\supset I_{w},}$

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения ${\displaystyle I_{0}}$ , ${\displaystyle I_{1}}$ , дополнение) её судьба это последовательность ${\displaystyle \omega }$ , у которой ${\displaystyle k}$ является наименьшим периодом, поэтому ${\displaystyle k}$ является наименьшим периодом и для построенной точки.