WikiSort.ru - Не сортированное

Нотация Фойгта — матричная форма записи симметричного тензора 4-го ранга. Впервые была предложена немецким физиком В.Фойгтом для тензора упругости в формулировке закона Гука для анизотропных материалов.

Обозначения

Если тензор 4-ранга ${\displaystyle c_{ijkl}}$ обладает симметрией по первой и второй паре индексов

${\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl}}$ ,

${\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk}}$ ,

то его элементы могут быть записаны в виде матрицы 6x6, используя следующую подстановку индексов:

${\displaystyle 11\rightarrow 1}$

${\displaystyle 22\rightarrow 2}$

${\displaystyle 33\rightarrow 3}$

${\displaystyle 23,32\rightarrow 4}$

${\displaystyle 13,31\rightarrow 5}$

${\displaystyle 12,21\rightarrow 6}$ .

Например, компонента ${\displaystyle c_{3122}}$ будет соответствовать элементу матрицы ${\displaystyle C_{52}}$ .

Используя те же подстановки индексов, можно записывать симметричные тензоры 2 ранга в виде 6 векторов. При таком представлении результат умножения тензоров, вообще говоря, не соответствуют результату перемножения матриц. Для того, чтобы операция тензорного умножения могла быть записана в виде умножения матриц, может потребоваться введение дополнительных множителей.

Матричная запись закона Гука

Закон Гука в тензорном виде имеет вид (здесь и далее используется соглашение Эйнштейна о суммировании по повторяющимся индексам):

${\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}}$ ,

где ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ и ${\displaystyle \varepsilon _{kl}}$  — тензоры напряжения и деформации. Так как эти тензоры являются симметричными, то тензор модулей упругости ${\displaystyle c_{ijkl}}$ обладает необходимой степенью симметрии для того, чтобы его возможно было записать в матричном виде. Более того, из соотношения

${\displaystyle c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl}}}}$ ,

где F — свободная энергия в случае изотермической деформации, или внутренняя энергия при адиабатической деформации, следует ${\displaystyle c_{ijkl}=c_{klij}}$ . Отсюда следует, что существует только 21 линейно независимая компонента тензора упругих постоянных.^[1] Поэтому матрица ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ , составленная из компонент ${\displaystyle c_{ijkl}}$ , будет симметричной. Закон Гука может быть записан в следующем виде:

${\displaystyle \sigma _{\alpha }=C_{\alpha \beta }\epsilon _{\beta }}$ ,

где индексы ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ пробегают значения от 1 до 6, или:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &c_{2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}}$

В данной записи коэффициент 2 при компонентах тензора деформации ${\displaystyle \varepsilon _{23}}$ , ${\displaystyle \varepsilon _{13}}$ , ${\displaystyle \varepsilon _{12}}$ необходим для того, чтобы матричные уравнения в точности соответствовали тензорным. Например, в законе Гука в уравнение для компоненты ${\displaystyle \sigma _{11}}$ входит слагаемое ${\displaystyle c_{1123}\varepsilon _{23}+c_{1132}\varepsilon _{32}}$ , которое в матричной записи соответствует слагаемому ${\displaystyle c_{1123}2\varepsilon _{23}}$ .

Закон Гука может быть записан в эквивалентной тензорной форме, через тензор модулей податливости ${\displaystyle s_{ijkl}}$ :

${\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl}}$

Тензор ${\displaystyle s_{ijkl}}$ характеризуется той же степенью симметрии, что и ${\displaystyle c_{ijkl}}$ . Поэтому его компоненты тоже можно записать в виде матрицы 6x6 элементов. Однако данная матрица не будет обратной к матрице ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$ .

Обратное матричное уравнение ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\sigma _{\beta }}$ , где ${\displaystyle S=C^{-1}}$ , выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}}$

Примеры

См. также

• Закон Гука
• тензор

Примечания

Литература

1. М.А. Акивис, В.В. Гольдберг. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969. — 352 с.
2. В. Новацкий. Теория упругости / пер. Б. Е. Победря. — М.: "Мир", 1975. — 871 с.
3. Т.Д. Шермергор. Теория упругости микронеоднородных сред. — М.: "Наука", 1977. — 399 с.