WikiSort.ru - Не сортированное

Нечётное жадное разложение — метод построения египетских дробей, в которых все знаменатели нечётные.

Если рациональное число ${\displaystyle x/y}$ является суммой нечётных аликвотных дробей:

${\displaystyle {\frac {x}{y}}=\sum {\frac {1}{2a_{i}+1}}}$ ,

то число ${\displaystyle y}$ должно быть нечётным. Обратно, известно, что в случае нечётности числа ${\displaystyle y}$ любая дробь вида ${\displaystyle x/y}$ имеет разложение с нечётными знаменателями, в котором все знаменатели дробей различны. Например, такое разложение можно найти, заменив ${\displaystyle x/y}$ на ${\displaystyle Ax/Ay}$ , где ${\displaystyle A}$  — число вида ${\displaystyle 35\times 3^{i}}$ для достаточно большого ${\displaystyle i}$ , а затем представив ${\displaystyle Ax}$ в виде суммы делителей ${\displaystyle Ay}$ ^[1].

Однако существует более простой жадный алгоритм, который успешно находит египетские дроби с нечётными знаменателями для всех чисел ${\displaystyle x/y}$ (с нечётным ${\displaystyle y}$ ), на которых он проверен: пусть ${\displaystyle u}$  — наименьшее нечётное число, не меньшее ${\displaystyle y/x}$ , включается дробь ${\displaystyle 1/u}$ в разложение и процесс продолжается для остаточной дроби ${\displaystyle x/y-1/u}$ . Этот метод и называется нечётным жадным алгоритмом, а получаемое разложение называется нечётным жадным разложением.

Вопрос о том, завершится ли процесс разложения за конечное число шагов для любого числа ${\displaystyle x/y}$ с нечётным ${\displaystyle y}$ ^[2] по состоянию на 2006 год оставался открытым.

Применение алгоритма к дроби с чётным знаменателем даёт бесконечное разложение. Например, последовательность Сильвестра можно рассматривать как результат работы нечётного жадного алгоритма для дроби ${\displaystyle 1/2}$ .

Пример

Пусть x/y = 4/23.

23/4 = 5 ¾, следующее большее нечётное число равно 7. Таким образом, на первом шаге получаем разложение:

4/23 = 1/7 + 5/161.

161/5 = 32 1/5, следующее большее нечётное число равно 33. Таким образом, на следующем шаге получаем разложение:

4/23 = 1/7 + 1/33 + 4/5313.

5313/4 = 1328 1/4, следующее большее нечётное число равно 1329. Таким образом, на третьем шаге получаем разложение:

4/23 = 1/7 + 1/33 + 1/1329 + 1/2353659.

Поскольку на третьем шаге в числителе остаточной дроби получена единица, то процесс останавливается и в итоге получено конечное разложение.

Дроби с длинными разложениями

Нечётный жадный алгоритм может образовывать разложения, которые короче обычного жадного разложения и с меньшими знаменателями^[3]. Например,

${\displaystyle {\frac {8}{77}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{257}}+{\frac {1}{197890}}={\frac {1}{11}}+{\frac {1}{77}},}$

где разложение слева получено жадным алгоритмом, а разложение справа получено нечётным жадным алгоритмом. Однако, как правило, результат разложения нечётным жадным алгоритмом длиннее и имеет большие знаменатели. Например^[4], разложение нечётным жадным алгоритмом числа 3/179 даёт 19 членов, наибольший из которых примерно равен 1,415×10⁴³⁹⁴⁹¹. Что интересно, числители дробей разложения при этом образуют последовательность целых чисел:

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 1.

Аналогичные случаи происходят и с другими числами, такими как 5/5809 (пример найден независимо Брауном (K. S. Brown) и Бейли (David Bailey)), и в этом случае разложение имеет 31 член. Хотя знаменатели этого разложения трудно вычислить ввиду их огромного размера, последовательность числителей можно найти относительно эффективно, если использовать модульную арифметику. В 1999 году^[5] описаны некоторые дополнительные примеры этого типа и приведены методы поиска дробей, дающих произвольно длинные разложения.

Примечания

Литература

• R. Breusch. A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512 // American Mathematical Monthly. — 1954. — Т. 61. — С. 200—201.
• Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory. — 1981. — С. 88. — ISBN 0-387-90593-6.
• Richard K. Guy. Nothing's new in number theory? // American Mathematical Monthly. — 1998. — Т. 105, вып. 10. — С. 951—954. — DOI:10.2307/2589289.
• Victor Klee, Stan Wagon. Unsolved Problems in Elementary Geometry and Number Theory. — 1991.
• Richard Nowakowski. Unsolved problems, 1969—1999 // American Mathematical Monthly. — 1999. — Т. 106, вып. 10. — С. 959—962. — DOI:10.2307/2589753.
• B. M. Stewart. Sums of distinct divisors // American Journal of Mathematics. — 1954. — Т. 76, вып. 4. — С. 779—785. — DOI:10.2307/2372651.
• Stan Wagon. Mathematica in Action. — W. H. Freeman, 1991. — С. 275—277. — ISBN 0-7167-2202-X.
• MathPages — Odd-Greedy Unit Fraction Expansions, K. S. Brown

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка.