WikiSort.ru - Не сортированное

В финансовой математике, модель Хестона - это математическая модель, предложенная Стивеном Хестоном, которая описывает совместную динамику цены базового актива и его волатильности.^[1] Поведение волатильности предполагается стохастичным: волатильность актива не только не является постоянным параметром модели, но изменяется согласно определенному случайному процессу.

Базовая модель Хестона

Базовая модель Хестона предполагает, что S_t, цена актива, определяется стохастическим процессом:^[2]

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}\,}$

где ${\displaystyle \nu _{t}}$ , мгновенная дисперсия, задаётся процессом CIR:

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }\,}$

а ${\displaystyle {\scriptstyle dW_{t}^{S},\;dW_{t}^{\nu }}}$  — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ, или, эквивалентно, с ковариацией ρ dt.

Параметры, использованные выше, имеют следующий смысл:

• μ — частота возвращения актива.
• θ — длинная дисперсий, или длинное средние дисперсии цены; при стремлении t к бесконечности, ожидаемое значение ν_t стремится к θ.
• κ — частота, с которой ν_t возвращается к θ.
• ξ — волатильность волатильности; как и предполагает название, она определяет дисперсию ν_t.

Если параметры подчиняются следующему условию (известному как условие Феллера), тогда процесс ${\displaystyle \nu _{t}}$ строго положителен^[3]

${\displaystyle 2\kappa _{t}\theta \geq \xi ^{2}\,.}$

Обобщения

Для того, чтобы принять во внимание все свойства профиля волатильности, модель Хестона не является достаточно гибкой. Может быть необходимо добавить к ней дополнительные степени свободы.

Первое прямое обобщение это позволить параметрам зависеть от времени. Тогда динамика модели имеет вид:

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}\,.}$

Здесь ${\displaystyle \nu _{t}}$ , мгновенная дисперсия, задаётся зависящим от времени процессом CIR:

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa _{t}(\theta _{t}-\nu _{t})\,dt+\xi _{t}{\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }\,}$

а ${\displaystyle {\scriptstyle dW_{t}^{S},\;dW_{t}^{\nu }}}$  — винеровские процессы (то есть случайные блуждания) с корреляцией ρ. Для того, чтобы сохранить трактовку модели необходимо потребовать, чтобы параметры были кусочно-постоянными.

Другой подход состоит в добавлении второго процесса с независимой от первого дисперсией.

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}^{1}}}S_{t}\,dW_{t}^{S,1}+{\sqrt {\nu _{t}^{2}}}S_{t}\,dW_{t}^{S,2}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}^{1}=\kappa ^{1}(\theta ^{1}-\nu _{t}^{1})\,dt+\xi ^{1}{\sqrt {\nu _{t}^{1}}}\,dW_{t}^{\nu ^{1}}\,}$

${\displaystyle d\nu _{t}^{2}=\kappa ^{2}(\theta ^{2}-\nu _{t}^{2})\,dt+\xi ^{2}{\sqrt {\nu _{t}^{2}}}\,dW_{t}^{\nu ^{2}}\,}$

Существенное обобщение моедли Хестона, делающее стохастически не только волатильность, но и среднее было предложено Лин Ченом (1996). В модели Чена динамика мгновенной процентной ставки устанавливается формулами:

${\displaystyle dr_{t}=(\theta _{t}-r_{t})\,dt+{\sqrt {r_{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\alpha _{t}=(\zeta _{t}-\alpha _{t})\,dt+{\sqrt {\alpha _{t}}}\,\sigma _{t}\,dW_{t},}$

${\displaystyle d\sigma _{t}=(\beta _{t}-\sigma _{t})\,dt+{\sqrt {\sigma _{t}}}\,\eta _{t}\,dW_{t}.}$

Реализация

Тонкости реализации модели Хестона с правильным учетом числа оборотов вокруг начала координат в комплексной плоскости для функции комплексного логарифма, составляющего часть решения для цены опциона, было впервые приведено в статье Кристиана Кала и Петера Якеля.^[4]

Информация о том, как использовать преобразование Фурье для оценки опционов приведено в статье Питера Карра и Дилипа Мадана.^[5]

Обобщение модели Хестона со случайными процентными ставками приведено в статье Гржелака и Остерли.^[6]

Вывод замкнутого решения для цен опционов для зависящей от времени модели Хестона приведён в статье Гобе и др.^[7]

Вывод замкнутого решения для цен опционов для двойной модели Хестона приведён в статьях Кристоферсена^[8] и Готье. ^[9]

См. также

• Стохастическая волатильность
• Нейтральная к риску мера (другое название: эквивалентная мартингальная мера)
• Теорема Гирсанова
• Мартингал
• Модель волатильности SABR

Примечания

1. ↑ «A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options», by Steven L. Heston, The Review of Financial Studies 1993 Volume 6, number 2, pp. 327—343
2. ↑ Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott on quantitative finance (2nd ed.), с. 861 
3. ↑ Albrecher, H.; Mayer, P.; Schoutens, W. & Tistaert, J. (2007), Wilmott Magazine: 83–92 
4. ↑ Kahl, C. & Jäckel, P. (2005), "Not-so-complex logarithms in the Heston model", Wilmott Magazine: 74–103, <http://www.math.uni-wuppertal.de/~kahl/publications/NotSoComplexLogarithmsInTheHestonModel.pdf> 
5. ↑ Carr, P. & Madan, D. (1999), "Option valuation using the fast Fourier transform", Journal of Computational Finance Т. 2 (4): 61–73, <http://www.math.nyu.edu/research/carrp/papers/pdf/jcfpub.pdf> 
6. ↑ Grzelak, L.A. & Oosterlee, C.W. (2011), "On the Heston Model with Stochastic Interest Rates", SIAM J. Fin. Math. Т. 2: 255–286, <http://scitation.aip.org/getpdf/servlet/GetPDFServlet?filetype=pdf&id=SJFMBJ000002000001000255000001&idtype=cvips&doi=10.1137/090756119&prog=normal> 
7. ↑ Benhamou, E.; Gobet, E. & Miri, M. (2009), SSRN Working Paper, <http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1367955> 
8. ↑ Christoffersen, P.; Heston, S. & Jacobs, K. (2009), CREATES Research Paper, <http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1447362> 
9. ↑ Gauthier, P. & Possamai, D. (2009), SSRN Working Paper, <http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1434853>