WikiSort.ru - Не сортированное

В линейной алгебре матрица Тёплица, или диагонально-постоянная матрица, названная в честь немецкого математика Отто Тёплица — это матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы.

В общем виде матрица Теплица размера ${\displaystyle n\times n}$ имеет вид:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\ldots &\ldots &a_{-n+1}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\ldots &\ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}.}$

То есть выполняется соотношение:

${\displaystyle a_{i,\,j}=a_{i-1,\,j-1}.}$

Замечания

Две матрицы Тёплица можно сложить за ${\displaystyle \Theta (n)}$ операций. Матрицу Теплица можно умножить на вектор за ${\displaystyle \Theta (n\log n)}$ операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$ операций.

Система линейных уравнений вида ${\displaystyle Ax=b}$ может быть решена методом Левинсона за время ${\displaystyle \Theta (n^{2})}$ .^[1][2]

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье, потому что оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.

См. также

• Ганкелева матрица
• Циркулянт
• Предельные теоремы Сегё

Примечания

Ссылки

• Тыртышников, Е.Е. Теплицевы матрицы, некоторые их аналоги и приложения / ответственный редактор чл.-корр. СССР В.В. Воеводин. — М.: ВИНИТИ, 1989. — 184 с. — 150 экз.

• Robert M. Gray. Toeplitz and Circulant Matrices: A Review. — California, USA: nowpublishers.com, 2000. — 98 с.

• Бабенко, К. И. О теплицевых и ганкелевых матрицах // Успехи математических наук. — 1986. — Т. 41, № 1(247). — С. 171-178.

• Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы : Алгебраич. теория. — М.: Наука, 1974. — 263 с.

• Пустыльников, Л.Д. . Тёплицевы и ганкелевы матрицы и их применения // Успехи математических наук. — 1984. — Т. 39, № 4(238). — С. 53–84.