WikiSort.ru - Не сортированное

Обозначим ${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}x+\ldots +a_{n}x^{n-1}}$ и ${\displaystyle \zeta _{k}=\zeta ^{k}}$ . Умножим циркулянт справа на определитель Вандермонда вида ${\displaystyle |\zeta _{j}^{i-1}|_{n\times n}}$ :

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{n}\\a_{n}&a_{1}&\cdots &a_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{2}&a_{3}&\cdots &a_{1}\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}f(\zeta _{1})&f(\zeta _{2})&\cdots &f(\zeta _{n})\\\zeta _{1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}f(\zeta _{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}f(\zeta _{1})&\zeta _{2}^{n-1}f(\zeta _{2})&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}f(\zeta _{n})\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =f(\zeta _{1})f(\zeta _{2})\ldots f(\zeta _{n})\cdot {\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\zeta _{1}&\zeta _{2}&\cdots &\zeta _{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\zeta _{1}^{n-1}&\zeta _{2}^{n-1}&\cdots &\zeta _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}}$

Далее сокращаем определитель Вандермонда как ненулевой.■