WikiSort.ru - Не сортированное

Прямая задача потребителя — максимизация полезности

Пусть ${\displaystyle u(x)}$  — функция полезности потребителя, где ${\displaystyle x}$  — вектор альтернатив (потребительских наборов), являющийся элементом допустимого множества ${\displaystyle X}$ . Пусть также ${\displaystyle p}$  — вектор цен, а ${\displaystyle R}$  — располагаемый доход потребителя. Прямая задача потребителя заключается в максимизации полезности на допустимом бюджетном множестве, задаваемом бюджетным ограничением ${\displaystyle px\leqslant R}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}u(x)\rightarrow \max _{x}\\px\leqslant R\\x\in X\end{cases}}}$

Решением этой задачи является маршаллианский спрос ${\displaystyle x(p,R)}$ . При достаточно слабых предположениях функция полезности непрерывна, а бюджетное множество ограничено и замкнуто, поэтому такая задача всегда имеет решение (теорема Вейерштрасса).

Двойственная задача потребителя — минимизация расходов

Двойственная (хиксианская) задача потребителя формулируется как задача минимизации затрат потребителя на приобретение набора благ при условии, что их полезность будет не меньше некоторой величины (выбираемые альтернативы будут не хуже некоторого фиксированного набора благ):

${\displaystyle {\begin{cases}ph\rightarrow \min _{h}\\u(h)\geqslant u(x)\\h\in X\end{cases}}}$

где ${\displaystyle x}$  — некоторый базовый набор, а ${\displaystyle h}$  — набор не хуже ${\displaystyle x}$ из множества допустимых альтернатив.

Решением этой задачи является хиксианский спрос ${\displaystyle h(p,x)}$ .

Формулировка задачи потребителя в терминах предпочтений

Если ${\displaystyle \succ }$  — отношение строгого предпочтения, то задача потребителя сводится к тому, чтобы найти набор из бюджетного множества, такой что любой другой допустимый набор, лучше (в смысле этого отношения предпочтения) данного, не принадлежал к бюджетному множеству.