Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
Тогда их композиция также дифференцируема:
и её производная имеет вид:
Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции
в точке
имеет вид:
где
— дифференциал тождественного отображения
:
Пусть теперь
Тогда
, и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
Многомерный случай
Пусть даны функции
где
и
Пусть также эти функции дифференцируемы:
и
Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
.
В частности, матрица Якоби функции
является произведением матриц Якоби функций
и
Следствия
- Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
Пример
Пусть дана функция трёх переменных
и требуется найти её частную производную по переменной
. Функция
может быть записана как
где
Тогда частная производная функции
по переменной
будет иметь следующий вид:
Вычисляем производные:
Подставляем найденные производные:
В итоге
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .