WikiSort.ru - Не сортированное

Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.

Определение

Пусть дано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$ — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ — определённая на ${\displaystyle X}$ топология. Пусть ${\displaystyle A\subset X.}$ Точка ${\displaystyle x_{0}\in X}$ называется грани́чной то́чкой мно́жества ${\displaystyle A}$ , если для любой её окрестности ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}}$ справедливо:

${\displaystyle U\cap A\neq \varnothing ,\;U\cap A^{\complement }\neq \varnothing .}$

Множество всех граничных точек множества ${\displaystyle A}$ называется границей множества ${\displaystyle A}$ или границей множества ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle X}$ и обозначается ${\displaystyle \partial A}$ или ${\displaystyle \partial _{X}A}$ если необходимо подчеркнуть, что ${\displaystyle A}$ рассматривается как подмножество объемлющего пространства ${\displaystyle X}$ .

Свойства

• ${\displaystyle \partial A=\partial \left(A^{\complement }\right);}$
• ${\displaystyle \partial A={\bar {A}}\setminus A^{\circ };}$
• ${\displaystyle \partial A}$ — замкнутое множество;
• ${\displaystyle A}$ — открытое множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A\cap \partial A=\emptyset ;}$
• ${\displaystyle A}$ — замкнутое множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \partial A\subset A;}$
• ${\displaystyle A}$ — открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \partial A=\emptyset ;}$
• ${\displaystyle \partial \partial A\subset \partial A}$ , причем равенство ${\displaystyle \partial \partial A=\partial A}$ достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle (\partial A)^{\circ }=\emptyset ;}$
• ${\displaystyle \partial \partial \partial A=\partial \partial A.}$

Примеры

Рассмотрим числовую прямую ${\displaystyle \mathbb {R} }$ со стандартной топологией. Тогда: для ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$ :

• Для ${\displaystyle -\infty <a<b<+\infty }$ : ${\displaystyle \partial (a,b)=\partial (a,b]=\partial [a,b)=\partial [a,b]=\{a,b\};}$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {R} =\varnothing ;}$
• ${\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} .}$

См. также

• Край многообразия
• Замыкание (топология)