WikiSort.ru - Не сортированное

Пусть ${\displaystyle \angle ABC}$ — вписанный угол окружности с центром ${\displaystyle O}$ , опирающийся на дугу ${\displaystyle AC}$ . Докажем, что ${\displaystyle \angle ABC=\angle AOC/2}$ . Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла АВС.

1. Луч ${\displaystyle BO}$ совпадает с одной из сторон ${\displaystyle \angle ABC}$ , например со стороной ${\displaystyle BC}$ . В этом случае дуга ${\displaystyle AC}$ меньше полуокружности, поэтому ${\displaystyle \angle AOC=AC}$ . Так как ${\displaystyle \angle AOC}$ — внешний угол равнобедренного ${\displaystyle \triangle ABO}$ , а углы при основании равнобедренного треугольника равны, один из них это ${\displaystyle \angle ABC}$ , значит их сумма равна ${\displaystyle 2\angle ABC}$ , a ${\displaystyle \angle AOC=2\angle ABC}$ . Отсюда следует, что ${\displaystyle \angle ABC=0{,}5\angle AOC}$ .

2. Луч ${\displaystyle BO}$ делит ${\displaystyle \angle ABC}$ на два угла. В этом случае луч ${\displaystyle BO}$ пересекает дугу ${\displaystyle AC}$ в некоторой точке ${\displaystyle D}$ . Точка ${\displaystyle D}$ разделяет дугу ${\displaystyle AC}$ на две дуги: ${\displaystyle AD}$ и ${\displaystyle DC}$ . По доказанному в п.1 ${\displaystyle \angle ABD=0{,}5AD}$ и ${\displaystyle \angle DBC=0{,}5DC}$ . Складывая эти равенства почленно, получаем: ${\displaystyle \angle ABD+\angle DBC=0{,}5AD+0{,}5DC}$ , или ${\displaystyle \angle ABC=0{,}5AC}$ .

3. Луч ${\displaystyle BO}$ лежит вне ${\displaystyle \angle ABC}$ . В этом случае дуга ${\displaystyle AC}$ составляет часть дуги ${\displaystyle AD}$ . По доказанному в п.1 ${\displaystyle \angle ABD=0{,}5AD}$ и ${\displaystyle \angle DBC=0{,}5DC}$ . ${\displaystyle \angle ABC=\angle ABD-\angle DBC=0{,}5AD-0{,}5DC=0{,}5(AD-DC)}$ . Т.к. дуга ${\displaystyle AC=AD-DC}$ , то ${\displaystyle \angle ABC=0{,}5AC}$ .