WikiSort.ru - Не сортированное

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.

В теории устойчивости решений дифференциальных уравнений функция Ляпунова — скалярная функция, которая используется, если имеется обыкновенное дифференциальное уравнение или система обыкновенных дифференциальных уравнений и необходимо исследовать устойчивость их решений с помощью второго (прямого) метода Ляпунова.

Названа в честь русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова, основоположника современной теории устойчивости^[1].

Описание

В общих теоремах об устойчивости, существование функции Ляпунова с определёнными условиями является достаточным условием устойчивости (неустойчивости) решения уравнения движения. Однако теоремы являются обратимыми и для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений существование функций Ляпунова является также необходимым условием.

Второй метод Ляпунова не требует нахождения самих решений дифференциальных уравнений, благодаря чему можно исследовать сложные нелинейные системы. Однако нахождение подходящей функции Ляпунова всегда являлось очень сложной задачей. Есть ряд исследованных случаев, для которых теоретически выводится критерий устойчивости с помощью общих теорем и функций Ляпунова. Например, устойчивость по первому приближению. Благодаря этому, второй метод Ляпунова является методом, имеющим, главным образом теоретический интерес, поскольку построение вспомогательных функций требует от исследователя неординарной математической интуиции. Однако, этот метод имеет и важное практическое значение^[2].

Тем не менее, всё же самым главным преимуществом метода функций Ляпунова перед всеми остальными подходами к решению разнообразных задач устойчивости является его универсальность. Сейчас он является единственным математическим методом, который может использоваться для исследования устойчивости динамических систем любого нелинейного вида и любой размерности.

Уравнения возмущенного движения^[3]

Для исследования устойчивости исходные уравнения преобразуют к уравнениям возмущенного движения.

Пусть дана некая система дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dy_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,y_{1},y_{2},...,y_{n}),}$

${\displaystyle y_{i}=f_{i}(t)}$  — частное решение этой системы. Будем считать его невозмущенным, остальные же движения будут возмущенными.

Тогда, чтобы исследовать его на устойчивость, нужно составить уравнения возмущенного движения.

Обозначим ${\displaystyle x_{i}=y_{i}-f_{i}(t)}$ возмущение выбранного движения.

Тогда ${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}={\frac {dy_{i}}{dt}}-{\frac {df_{i}}{dt}}=Y_{i}(t,x_{1}+f_{1},x_{2}+f_{2},...,x_{n}+f_{n})-Y_{i}(t,f_{1},f_{2},...,f_{n})=X_{i}(t,x_{1},x_{2},...,x_{n}).}$

Каждому движению исходной системы будет соответствовать решение новой системы. При этом невозмущенному решению будет соответствовать решение ${\displaystyle x_{1}=x_{2}=...=x_{n}=0.}$ Это видно из уравнений ${\displaystyle X_{i}(t,0,0,...,0)=0.}$

Определение функции Ляпунова (для автономных систем)^[3]

Пусть дана система возмущенного движения состоящая из ${\displaystyle n}$ обыкновенных дифференциальных уравнений:

${\displaystyle {\frac {dx_{i}}{dt}}=X_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$

${\displaystyle i=1,2,3,...,n}$

При этом ${\displaystyle X_{i}}$ пусть определены и непрерывны в области ${\displaystyle |x_{i}|\leq H}$ (где ${\displaystyle H}$ некоторая положительная постоянная) и обращаются в ноль при нулевых значениях переменных.

Функцией Ляпунова называется некоторая функция ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ принимающая вещественные значения и удовлетворяющая свойствам:

1. Функция однозначная;
2. ${\displaystyle V(0,0,...,0)=0}$ ;
3. Непрерывная вместе со своими частными производными.

${\displaystyle V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется знакоопределенной (определенно-положительной или определённо-отрицательной) если в области ${\displaystyle |x_{i}|\leq h\leq H}$ она принимает значение только одного знака и обращается в ноль только в начале координат.

${\displaystyle V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется знакопостоянной (положительной или отрицательной) если в области ${\displaystyle |x_{i}|\leq h\leq H}$ она принимает значения только одного знака и обращается в ноль не только в начале координат.

${\displaystyle V=V(x_{1},x_{2},...,x_{n})}$ называется знакопеременной если принимает различные значения.

Теоремы Ляпунова для автономных систем

Пусть

${\displaystyle x^{*}=0}$

является точкой равновесия системы автономных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x),}$

и пусть

${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x)}$

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова ${\displaystyle V}$ .

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle {\dot {x}}=-x.}$

Принимая во внимание то, что функция ${\displaystyle x^{2}}$ положительна в любой окрестности начала координат без точки нуль, она будет естественным кандидатом функции Ляпунова для изучения поведения ${\displaystyle x}$ . Итак, пусть ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ . Тогда,

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=2x\cdot (-x)=-2x^{2}<0.}$

Это показывает, что точка равновесия дифференциального уравнения является асимптотически устойчивой, а так как функция ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ является радиально неограниченной, то точка равновесия глобально асимптотически устойчива.

Каноническое обобщение второго (прямого) метода Ляпунова или общая методика использования функций Ляпунова для решения задач устойчивости

Хотя до 2014 года не существовало общих методов построения функций Ляпунова, всё же в ряде случаев пути их конструирования были известны. Например, класс квадратичных функций стал базой для построения функций Ляпунова для одномерных нелинейных и многомерных линейных систем. Такой же основой для их нахождения стали законы сохранения некоторых физических систем. Но в целом, начиная с 1892 года, когда А. М. Ляпунов ввёл в своей диссертации эти функции, чтобы изучать устойчивость движения, проблема разработки общего метода их построения научным сообществом считалась практически неразрешимой. Такое положение дел в течение долгих лет, осложнённое ко всему прочему многочисленными безуспешными попытками сдвинуть его с мёртвой точки, придало функциям Ляпунова некий ореол загадочности.

Но в 2014 году вышла статья^[4], в которой впервые предложена процедура построения функций Ляпунова в самом общем случае, если для заданной многомерной неавтономной нелинейной системы известен полный набор первых интегралов или хотя бы их уровневые сечения (level set). В ней показано как функции Ляпунова топологически связывают устойчивость системы с её внутренними интегральными и дифференциальными свойствами. Под первыми подразумеваются первые интегралы и их уровневые сечения, которые являются инвариантными многообразиями коразмерности один или иначе инвариатными гиперповерхностями. А под вторыми — векторные поля и поля индикатрис. Следует отметить, что работы в этом направлении велись достаточно долго и упорно, но несмотря на это максимум чего удалось добиться — это построить функции Ляпунова в виде связок (в большинстве своём полиномов) первых интегралов для целого ряда частных случаев. Начало данному подходу положил российский советский механик и математик Н. Г. Четаев, который в своей знаменитой книге "Устойчивость движения" использовал квадратичную форму.

Два года позже, а именно в 2016 году, была опубликована монография^[5], которая на основе подхода к исследованию многообразий и обыкновенных дифференциальных уравнений, разработанного французским математиком-универсалистом, физиком, инженером и философом Анри Пуанкаре, представила эту общую процедуру в виде топологического обобщения второго (прямого) метода Ляпунова. Эта работа интенсивно использует аппарат дифференциальной и геометрической топологий и базируется на трёх ключевых идеях.

1. Представление расширенного фазового пространства исходной (${\displaystyle n+1}$ )-мерной неавтономной динамической системы:

${\displaystyle {dx \over dt}=f(t,x),}$

с заданной интегральной кривой ${\displaystyle x_{t}=(t,x(t,x_{0}))}$ , чью устойчивость требуется изучить, в форме топологических слоений, где ${\displaystyle x=(x_{1},...,x_{n})}$  — фазовый вектор, ${\displaystyle f(t,x)=(f_{1}(t,x),...,f_{n}(t,x))}$  — векторное поле, ${\displaystyle t\in [t_{0};+\infty [}$  — время, ${\displaystyle x(t,x_{0})}$  — частное решение системы дифференциальных уравнений, описывающих исходную динамическую систему, с начальной фазовой точкой ${\displaystyle x_{0}}$ .

2. Расширение преобразования Ляпунова ${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle \vartheta :z\longrightarrow {x}=z+x(t,x_{0})}$ ,

выпрямляющего интегральную кривую ${\displaystyle x_{t}}$ , до нового преобразования, делающего все ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ -мерные инвариантные многообразия или гиперповерхности, которые её образуют, взаимно пересекаясь, плоскими, где ${\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}$ . Новое преобразование называется каскадом последовательных выпрямляющих диффеоморфизмов, которое приводит к результирующему канонизирующему диффеоморфизму ${\displaystyle x=\psi (y)}$ , где ${\displaystyle y=(y_{1},...,y_{n})}$ . Последнее означает, что исходная динамическая система приобретает каноническую форму, для которой все её ${\displaystyle n}$ инвариантные гиперповерхности превращаются в соответствующие гиперплоскости, тоже инвариантные.

3. Топологическая классификация накрывающих проекций ${\displaystyle \{p_{1},...,p_{n}\}}$ соответствующих покрытий, ассоциированных с дифференциальными уравнениями, описывающими каноническую форму исходной динамической системы.

Графики A, B, C, D иллюстрируют вышеупомянутые идеи для трёхмерной или двумерной неавтономной системы и её канонической формы, описываемой следующими уравнениями:

${\displaystyle \psi :\{{dx_{1} \over dt}=f(t,x),{dx_{2} \over dt}=f(t,x)\}\longleftrightarrow \{{dy_{1} \over dt}=f_{1}^{2}(t,y),{dy_{2} \over dt}=f_{2}^{2}(t,y)\}}$ ,

где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})}$ , ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2})}$ , ${\displaystyle f_{1}^{2}(t,y)\equiv 0}$ , если ${\displaystyle y_{1}=0}$ и ${\displaystyle f_{2}^{2}(t,y)\equiv 0}$ , если ${\displaystyle y_{2}=0}$ .

Первая идея графически поясняется графиком A. Вторая — графиками B и C, а третья — графиком D, где ${\displaystyle p_{1}:S_{1}^{+}{\cup }S_{1}^{0}{\cup }S_{1}^{-}{\longrightarrow }Y_{1}^{+}{\cup }Y_{1}^{0}{\cup }Y_{1}^{+}}$ .

Примечания