WikiSort.ru - Не сортированное

Тождества Фирца — тождества линейной алгебры, связывающие различные выражения в виде произведений матриц Паули, матриц Гелл-Манна и матриц Дирака, различающиеся между собой перестановкой индексов. Используются в теоретической физике.

Тождества Фирца для матриц Паули

${\displaystyle \delta _{b}^{a}\delta _{d}^{c}={\frac {1}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b}^{c}+{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}}$

${\displaystyle \mathbf {\sigma } _{b}^{a}\mathbf {\sigma } _{d}^{c}={\frac {3}{2}}\delta _{d}^{a}\delta _{b}^{c}-{\frac {1}{2}}\mathbf {\sigma } _{d}^{a}\mathbf {\sigma } _{b}^{c}}$

Здесь и ниже ${\displaystyle \sigma _{i}}$  — матрицы Паули, ${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$  — символ Кронекера,${\displaystyle \mathbf {\sigma } \mathbf {\sigma } =\sigma _{i}\sigma _{i},i=1,2,3}$ ^[1].

Тождества Фирца для матриц Гелл-Манна

${\displaystyle \delta _{\beta }^{\alpha }\delta _{\delta }^{\gamma }={\frac {1}{3}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }+{\frac {1}{2}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\gamma }}$

${\displaystyle \mathbf {\lambda } _{\beta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\gamma }={\frac {16}{9}}\delta _{\delta }^{\alpha }\delta _{\beta }^{\gamma }-{\frac {1}{3}}\mathbf {\lambda } _{\delta }^{\alpha }\mathbf {\lambda } _{\beta }^{\gamma }}$

Здесь и ниже ${\displaystyle \lambda _{\delta }}$  — матрицы Гелл-Манна, ${\displaystyle \mathbf {\lambda } \mathbf {\lambda } =\lambda _{i}\lambda _{i},i=1,2,3,...8}$ ^[2].

Тождества Фирца для матриц Дирака

${\displaystyle ({\bar {a}}O_{i}b)({\bar {c}}O^{i}d)=\sum _{k}C_{ik}({\bar {a}}O_{k}d)({\bar {c}}O^{k}b)}$

Здесь матрица ${\displaystyle O}$ может быть одного из пяти типов ${\displaystyle (S,V,T,A,P)}$ ^[3]:

${\displaystyle O_{S}=\mathbf {1} }$ ,

${\displaystyle O_{V}=\gamma _{\alpha }}$ ,

${\displaystyle O_{T}={\frac {\sigma _{\alpha \beta }}{\sqrt {2}}}}$ ,

${\displaystyle O_{A}=\gamma _{5}\gamma _{\alpha }}$ ,

${\displaystyle O_{P}=\gamma _{5}}$ ,

где ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$  — матрицы Дирака

Матрица ${\displaystyle C_{ik}}$ называется матрицей Фирца.

Матрица Фирца

См. также

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Матрицы Дирака

Примечания

Литература

• Окунь Л. Б. Лептоны и кварки. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 352 с. — ISBN 5-354-01084-5.