WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема В. Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883–1916) устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.

Формулировка В. Фогта

В оригинальной статье^[1] (Satz 12) теорема сформулирована так:

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$  – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой ${\displaystyle g}$ , ${\displaystyle \alpha }$  и ${\displaystyle \beta }$  – углы между хордой ${\displaystyle AB}$ и касательными лучами в точках ${\displaystyle A}$  и ${\displaystyle B}$ , лежащими с той же стороны от ${\displaystyle g}$ , что и дуга ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ . Тогда угол ${\displaystyle \alpha }$ больше, меньше, или равен ${\displaystyle \beta }$ , соответственно тому, возрастает ли кривизна от ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$ , убывает ли, или остаётся постоянной.

В статье ^[1] (как и в монографии ^[2], theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые^[3] с непрерывной кривизной ${\displaystyle k(s)}$ . Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абcолютных величинах кривизн и углов ${\displaystyle |k(s)|,\,|\alpha |,\,|\beta |}$ . Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях ^[4], ^[5], ^[6].

Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.

Модифицированная формулировка теоремы

Модифицированная версия теоремы Фогта (см. ^[7], теорема 1)

• рассматривает углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ как ориентированные, измеренные относительно направления хорды ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ ;
• формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле ${\displaystyle k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s}},}$ где ${\displaystyle \tau (s)}$  – угол наклона касательной к кривой);
• не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны;
• распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали – те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая ${\displaystyle A_{6}B_{6}}$ на рис. 1).

Пусть ${\displaystyle k_{1}}$  – кривизна короткой спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ в начальной точке ${\displaystyle A}$ ,    ${\displaystyle k_{2}}$  – её кривизна в конечной точке ${\displaystyle B}$ . Тогда

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)}$

или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,

${\displaystyle {\begin{array}{llcc}{\text{если}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &-\pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi ;\\{\text{если}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2)}$

Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$ и ${\displaystyle A_{4}B_{4}}$ на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: ${\displaystyle 0>k_{1}>k_{2}}$ . Неравенства Фогта, ${\displaystyle k_{1}<k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha >\beta ,}$ подразумевают ${\displaystyle |k_{1}|<|k_{2}|\;\Rightarrow \;|\alpha |>|\beta |,}$ что, с учётом знаков кривизн и углов, означает ${\displaystyle {-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Rightarrow \;\alpha >{-\beta },}$ или ${\displaystyle k_{1}>k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha +\beta <0,}$ в соответствии с (1).

Отразив кривые 4–7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у ${\displaystyle k_{1},k_{2},\alpha ,\beta }$ ), получим примеры с возрастающей кривизной.

Геометрический смысл суммы ${\displaystyle \alpha +\beta }$

Пусть по короткой спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ движется точка от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B.}$ Для каждого положения ${\displaystyle P(s)}$ подвижной точки построим круговую дугу ${\displaystyle {\overset {\frown }{APB}}}$ (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке ${\displaystyle A}$ обозначим ${\displaystyle \varphi (s)}$ .

• Функция ${\displaystyle \varphi (s)}$ строго монотонна; ${\displaystyle \lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,}$ ${\displaystyle \lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .}$
• Дуги ${\displaystyle {\overset {\frown }{APB}}}$ заметают линзу – область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду ${\displaystyle AB}$ , одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке ${\displaystyle A}$ , вторая – в точке ${\displaystyle B.}$
• Любая короткая спираль с граничными углами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ заключена внутри линзы (теорема 2 в^[7]).
• Сумма ${\displaystyle \sigma =\alpha +\beta }$ равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию${\displaystyle {}^{(+)}}$ / убыванию${\displaystyle {}^{(-)}}$ кривизны.

Обобщение теоремы

Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей. Рассмотрим на спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ длины ${\displaystyle S}$ точку ${\displaystyle P(s)}$ , движущуюся от ${\displaystyle A=P(0)}$ к ${\displaystyle B=P(S)}$ . Для достаточно малой (короткой) дуги ${\displaystyle {\overset {\frown }{AP}}(s)}$ значения граничных углов ${\displaystyle \alpha (s)}$ и ${\displaystyle \beta (s)}$ , измеренных относительно направления подвижной хорды ${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}(s),}$ близки к нулю, и при удалении точки ${\displaystyle P}$ от ${\displaystyle A}$ они могут достичь значений ${\displaystyle \pm \pi .}$ Договоримся о сохранении непрерывности функций ${\displaystyle \alpha (s)}$ и ${\displaystyle \beta (s)}$ при достижении значений, кратных ${\displaystyle \pi .}$ Тем самым эти углы определяются в кумулятивном смысле, как "углы, помнящие свою историю". Обозначим

${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).}$

Так, на рис. 3 угол ${\displaystyle \beta (s)}$ достигает значения ${\displaystyle +\pi }$ , когда точка ${\displaystyle P(s)}$ достигает положения ${\displaystyle P_{8}}$ , после чего ${\displaystyle \beta (s)>\pi }$ .

В статье^[8] (теорема 1) показано, что сумма ${\displaystyle \sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)}$ есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна ${\displaystyle k(s)}$ . Функция ${\displaystyle \sigma (s)}$ строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого ${\displaystyle \sigma (s)\equiv 0.}$ Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).}$

Связанные утверждения^[8]:

• При дробно-линейном отображении спирали значение ${\displaystyle \sigma }$ сохраняется.
• Вариация поворота спирали ограничена неравенствами

  ${\displaystyle |\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau <|\sigma |+2\pi ,}$

  и остаётся в этих пределах при инверсии спирали.

Обратная теорема

В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами^[6]. В "ориентированном" варианте они принимают вид неравенств (2).

В^[2] (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.

В^[7] (теорема 3) эти условия распространены на все короткие (не обязательно выпуклые) спирали следующим образом:

Для существования короткой спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ с граничными углами ${\displaystyle \alpha ,\;\beta }$ и кривизнами ${\displaystyle k_{1},\;k_{2}}$ необходимо и достаточно:

• либо выполнения условий (2) и неравенства ${\displaystyle Q<0}$ , где

${\displaystyle Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2}},\quad c={\frac {1}{2}}|AB|;}$

• либо выполнения условий (2) с ограничением ${\displaystyle |\alpha +\beta |\not =2\pi ,}$ и равенства ${\displaystyle Q=0}$ ; спираль в этом случае единственна и является бидугой.

Пояснение. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{B}}$  — граничные круги кривизны спиральной дуги ${\displaystyle AB}$ , ${\displaystyle \psi }$  — их угол пересечения. Тогда ${\displaystyle Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2}}.}$ Неравенство ${\displaystyle Q<0}$ означает, что угол ${\displaystyle \psi }$ чисто мнимый. Это, в свою очередь, можно интерпретировать следующим образом:

• Круги ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{B}}$ не имеют общих точек и расположены так, что при сближении их пересечению будет предшествовать касание — совпадение ориентированных касательных в общей точке.
• Если ни один из кругов ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A,B}}$ не является прямой ${\displaystyle (k_{1,2}\not =0)}$ , то, в случае их одинаковой ориентации (по или против часовой стрелки, т.е. ${\displaystyle k_{1}k_{2}>0}$ ) один из них расположен строго внутри другого, а в случае противоположной ориентации (${\displaystyle k_{1}k_{2}<0}$ ) один расположен вне другого.

При ${\displaystyle Q=0}$ ${\displaystyle (\psi =0)}$ граничные круги кривизны касаются.

Ссылки и примечания

См. также

• Спираль: определения, основанные на монотонности кривизны.
• Бидуга.