WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Дарбу в симплектической геометрии — утверждение, о том, что для любой невырожденной симплектической структуры, заданной на ${\displaystyle M^{2n}}$ для любой точки существует открытая окрестность с локальными координатами ${\displaystyle p_{1},...p_{n},q_{1},...,q_{n}}$ такими, что форма ${\displaystyle \omega =\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j}}$ может быть представлена в каноническом виде.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \omega _{ij}}$ — симплектическая структура на ${\displaystyle M^{2n}}$ . Тогда для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ всегда существует окрестность с локальными регулярными координатами ${\displaystyle p_{1},...p_{n},q_{1},...,q_{n}}$ такими, что в них форма ${\displaystyle \omega }$ записывается в простейшем каноническом виде ${\displaystyle \sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}}$ , то есть в каждой точке этой окрестности матрица ${\displaystyle \left(\omega _{ij}\right)}$ имеет вид ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&E\\-E&0\end{pmatrix}}}$

Доказательство

Доказательство есть в книге^[1].

Примечания

Литература

• Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения.. — М.: МГУ, 1988. — 413 с. — ISBN 5-211-00083-8.