WikiSort.ru - Не сортированное

Сапог Шварца (от нем. Schwarzscher Stiefel) — семейство приближений кругового цилиндра с помощью полиэдральных поверхностей.

Предельная площадь этих приближений может быть сделана произвольно большой. Эта конструкция позволяет увидеть несостоятельность определения площади поверхности как точной верхней грани площадей вписанных в неё полиэдральных поверхностей, в противоположность тому, что длина кривой может быть определена как точная верхняя грань длин вписанных в неё ломаных.

История

Данная конструкция предложена Карлом Шварцем и использовалась Шарлем Эрмитом в его курсе лекций в 1881—82. ^[1]

Конструкция

Высота цилиндра делится плоскостями, параллельными основаниям, на ${\displaystyle n}$ равных частей. В образовавшиеся сечения (окружности) вписываются правильные ${\displaystyle k}$ -угольники, причём соседние ${\displaystyle k}$ -угольники повёрнуты относительно друг друга на угол ${\displaystyle \pi /k}$ . Затем вершины ${\displaystyle k}$ -угольников соединяются так, что образуется поверхность из ${\displaystyle 2nk}$ треугольников; каждый её «слой» — антипризма. Полученная полиэдральная поверхность называется сапогом Шварца.

Если ${\displaystyle n,k\to \infty }$ , то размеры этих треугольников становятся сколь угодно малыми, то есть сапог Шварца стремится к цилиндру.

Свойства

• Простой подсчёт показывает, что
  • при ${\displaystyle k,n/k^{2}\to \infty }$ площадь, то есть сумма площадей всех треугольных граней сапога Шварца, стремится к бесконечности.
  • при ${\displaystyle n,k^{2}/n\to \infty }$ площадь сапога Шварца, стремится к площади кругового цилиндра.
• Относительно его внутренней метрики, сапог Шварца изометричен некоторому круговому цилиндру.

Примечания

Литература

• Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Мир, 1969. — Т. 3.
• Берже М. Геометрия. — М.: Мир, 1984. — Т. 1.