WikiSort.ru - Не сортированное

В математике полугруппой с делением называется частично упорядоченная полугруппа ${\displaystyle (S,\cdot ,\leqslant )}$ , в которой для любых двух элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ определены правое (${\displaystyle a/b}$ ) и левое (${\displaystyle b\backslash a}$ ) частные, причём выполняются условия:

${\displaystyle \forall c\in S\quad c\leqslant a/b\Leftrightarrow c\cdot b\leqslant a}$ (правое; читается «${\displaystyle a}$ над ${\displaystyle b}$ »);

${\displaystyle \forall c\in S\quad c\leqslant b\backslash a\Leftrightarrow b\cdot c\leqslant a}$ (левое; читается «${\displaystyle b}$ под ${\displaystyle a}$ »).

Очевидно, что если полугруппа абелева, то правое и левое частные совпадают. Правое и левое частные для каждых двух элементов определяются однозначно.

Примеры

• Натуральные числа с операцией сложения: ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,\geqslant )}$ ;
• Любая импликативная решётка: здесь псевдодополнение играет роль как правого, так и левого частного.
• Множество всех подмножеств частично упорядоченной полугруппы S с операцией ${\displaystyle \cdot :A\cdot B=\{a\cdot b|a\in A,b\in B\}}$ . Здесь ${\displaystyle A/B=\{c\in S|\{c\}\cdot B\subseteq A\}}$ (левое — аналогично).

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011 года.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.