WikiSort.ru - Не сортированное

Плотность состояний — величина, определяющая количество энергетических уровней в интервале энергий на единицу объёма в трёхмерном случае (на единицу площади — в двумерном случае). Является важным параметром в статистической физике и физике твёрдого тела. Термин может применяться к фотонам, электронам, квазичастицам в твёрдом теле и т. п. Применяется только для одночастичных задач, то есть для систем где можно пренебречь взаимодействием (невзаимодействующие частицы) или добавить взаимодействие в качестве возмущения (это приведёт к модификации плотности состояний).

Определение

Чтобы вычислять плотность состояний энергии для частицы, мы сначала вычислим плотность состояний в обратном пространстве (импульсное или k-пространство). Расстояние между состояниями задано граничными условиями. Для свободных электронов и фотонов в пределах ящика размера L, и для электронов в кристаллической решётке с размером решётки L используем периодические граничные условия Борна — фон Кармана. Используя волновую функцию свободной частицы получаем

${\displaystyle {\begin{matrix}e^{ikx}&=&e^{ik(x+L)}\\1&=&e^{ikL}\\2\pi n&=&kL\\{\frac {2\pi }{L_{x}}}&=&\Delta k\\\end{matrix}}}$

где n — любое целое число, а ${\displaystyle \Delta k}$ — расстояние между состояниями с различными k.

Полное количество k-состояний, доступных для частицы - объем k-пространства доступного для неё, разделённого на объём k-пространства, занимаемого одним состоянием. Доступный объем - просто интеграл от ${\displaystyle k=0}$ к ${\displaystyle k=k}$ . Объём k-пространства для одного состояния в n-мерном случае запишется в виде

${\displaystyle G(k)={\frac {g_{s}}{\left({\Delta k}\right)^{n}}}\int \limits _{0}^{k}\,{d^{n}{\mathbf {k} }},}$

${\displaystyle g_{s}}$ — вырождение уровня (обычно это спиновое вырождение, равное 2). Это выражение нужно продифференцировать, чтобы найти плотность состояний в k-пространстве: ${\displaystyle g(k)\,dk={\frac {dG(k)}{dk}}\,dk}$ . Чтобы найти плотность состояний по энергии, нужно знать закон дисперсии для частицы, то есть выразить k и dk в выражении g(k)dk в терминах E и dE. Например для свободного электрона: ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}={\frac {(\hbar k)^{2}}{2m}}}$ , ${\displaystyle dE={\frac {\hbar ^{2}k}{m}}\,dk.}$

С более общим определением связано соотношение

${\displaystyle D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})}$

где индекс s соответствует некоторому состоянию дискретного или непрерывного спектра, а ${\displaystyle \delta }$ — дельта-функция Дирака. При переходе от суммирования к интегрированию следует использовать правило

${\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hbar )^{n}}}}$

где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка.

Примеры

В следующей таблице представлены плотность состояний для электронов с параболическим законом дисперсии

	Доступный объём	Объём для одного состояния	Плотность состояний
3D	${\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi k^{3}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{3}}{L_{x}L_{y}L_{z}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m^{3}}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {E}}}$
2D	${\displaystyle \pi k^{2}}$	${\displaystyle {\frac {(2\pi )^{2}}{L_{x}L_{y}}}}$	${\displaystyle {\frac {m}{\pi \hbar ^{2}L_{x}}}\sum _{l}\Theta (E-E_{l})}$
1D	${\displaystyle 2k}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{L_{x}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2m}}{\pi \hbar L_{x}L_{y}}}\sum _{l}{\frac {1}{\sqrt {E-E_{l}}}}}$
0D			${\displaystyle {\frac {2}{L_{x}L_{y}L_{z}}}\sum _{l}\delta (E-E_{l})}$

где l — индекс подзоны размерного квантования, ${\displaystyle \Theta }$ - функция Хевисайда. Здесь рассмотрен не чистый случай, а когда квантование по одному или нескольким направлениям связано с некоторым ограничивающим потенциалом.

Внешние ссылки

• Britney Spears' Guide to Semiconductor Physics

Это заготовка статьи по физике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.