WikiSort.ru - Не сортированное

Эта страница требует существенной переработки. Возможно, её необходимо викифицировать, дополнить или переписать. Пояснение причин и обсуждение — на странице Википедия:К улучшению/6 декабря 2018.

Парадокс туннельного эффекта — утверждение о том, что способность микрочастиц проходить через потенциальный барьер с высотой, большей их полной энергии, якобы противоречит закону сохранения энергии. Для выполнения закона сохранения энергии в этом случае, кинетическая энергия частиц якобы должна быть отрицательной.

Физический смысл объяснения данного парадокса заключается в том, что вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, равной его ширине, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость в проекции импульса ${\displaystyle p_{x}}$ и её кинетической энергии ${\displaystyle \Delta T}$ , так, что ${\displaystyle \Delta T>(U_{m}-E)}$ , где ${\displaystyle U_{m}}$ - максимальная высота барьера, ${\displaystyle E}$ - полная энергия частицы. Поэтому нарушения закона сохранения энергии не происходит.^[1][2]

Формулировка парадокса

Рассмотрим частицу с полной энергией ${\displaystyle E}$ , проходящую через потенциальный барьер с высотой ${\displaystyle U_{m}}$ . Пусть полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера ${\displaystyle E<U_{m}}$ . Полная энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальных энергий ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)}$ . Тогда в области, где высота потенциального барьера больше полной энергии частицы ${\displaystyle U(x)>E}$ , кинетическая энергия должна быть отрицательной ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}<0}$ .

Объяснение парадокса

Квантовая механика не позволяет рассматривать полную энергию частицы в виде суммы потенциальной и кинетической энергий. Использование формулы ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}+U(x)}$ означает, что мы одновременно знаем величину потенциальной ${\displaystyle U(x)}$ и кинетической ${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m}}}$ энергии. Но для знания кинетической энергии необходимо точно знать импульс ${\displaystyle p}$ , а для знания потенциальной энергии - координату ${\displaystyle x}$ частицы, что запрещено принципом неопределённости. Таким образом, в квантовой механике невозможно деление полной энергии на кинетическую и потенциальную, следовательно бессмысленно утверждение о точном значении кинетической энергии.

Теперь осталось лишь уточнить, можно ли в результате измерения координаты частицы обнаружить частицу внутри потенциального барьера и при этом установить, что её полная энергия меньше энергетической высоты барьера.

Из формулы для туннельного эффекта следует, что частицы проникают внутрь потенциального барьера главным образом лишь на расстояние ${\displaystyle l}$ , определяемую приближённым равенством ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1}$ . Чтобы обнаружить частицу внутри потенциального барьера, мы должны измерить её координату с точностью не большей, чем глубина её проникновения ${\displaystyle \Delta x<l}$ . Но тогда вследствие принципа неопределённости импульс частицы приобретает дисперсию ${\displaystyle {\bar {\Delta p^{2}}}>{\frac {\hbar ^{2}}{4{\bar {\Delta x^{2}}}}}={\frac {\hbar ^{2}}{4l^{2}}}}$ . Величину ${\displaystyle l}$ можно найти из формулы ${\displaystyle {\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)}}}l\approx 1}$ , в результате получаем ${\displaystyle {\frac {\bar {\Delta p^{2}}}{2m}}>U_{m}-E}$ .

Итак, вследствие неопределённости координаты частицы в процессе её прохождения через барьер, как результат принципа неопределённости, возникает неопределённость проекции её импульса ${\displaystyle p_{x}}$ , которая увеличивает кинетическую энергию частицы на величину, требуемую для прохождения барьера ${\displaystyle U_{m}}$ ^[1][2].

См. также

• Туннельный эффект

Примечания