WikiSort.ru - Не сортированное

Объяснение парадокса

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение ${\displaystyle mv+MV=0}$ , где ${\displaystyle m}$  — масса игрушки, ${\displaystyle v}$  — скорость игрушки, ${\displaystyle M}$  — масса Земли, ${\displaystyle V}$  — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}$ . Выражая скорость Земли ${\displaystyle V}$ из уравнения ${\displaystyle mv+MV=0}$ и подставляя в уравнение ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}$ , получим ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)}$ ^[1].

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью ${\displaystyle v}$ . После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение ${\displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v}$ , где ${\displaystyle V_{1}}$  — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение ${\displaystyle \delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}}$ . Выразим скорость Земли ${\displaystyle V_{1}}$ из уравнения ${\displaystyle m(2v)+MV_{1}=(m+M)v}$ и подставим в уравнение ${\displaystyle \delta E={\frac {m(2v)^{2}}{2}}+{\frac {MV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {(m+M)v^{2}}{2}}}$ . Получим ${\displaystyle \delta E=3{\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {M}{2}}\left[(1-{\frac {m}{M}})^{2}v^{2}-v^{2}\right]}$ . После простых преобразований получим ${\displaystyle \delta E={\frac {mv^{2}}{2}}\left(1+{\frac {m}{M}}\right)=W}$ . То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины ${\displaystyle W}$ ^[2].

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят Землю^[2].

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы ${\displaystyle W={\frac {mv^{2}}{2}}+{\frac {MV^{2}}{2}}}$ появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны ${\displaystyle v}$ , кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчёта^[3].

Объяснение парадокса

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение ${\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})=Fs}$ . Здесь ${\displaystyle s}$ - длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с ${\displaystyle v_{1}}$ до ${\displaystyle v_{2}}$ . Так как тело движется с ускорением ${\displaystyle {\frac {F}{m}}}$ , то ${\displaystyle s=v_{1}t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}}$ .

Во второй системе ${\displaystyle {\frac {m}{2}}(v_{2}^{2}-v_{1}^{2})-mv(v_{2}-v_{1})=Fs_{1}}$ . Здесь ${\displaystyle s_{1}}$ - длина пути, пройденного телом во второй системе ${\displaystyle s_{1}=(v_{1}-v)t+{\frac {F}{m}}{\frac {t^{2}}{2}}}$ . Итак, ${\displaystyle s-s_{1}=vt}$ . Так как ${\displaystyle {\frac {F}{m}}=a={\frac {(v_{2}-v_{1})}{t}}}$ , то ${\displaystyle t={\frac {m(v_{2}-v_{1})}{F}},s-s_{1}={\frac {mv(v_{2}-v_{1})}{F}}}$ . Таким образом ${\displaystyle F(s-s_{1})=mv(v_{2}-v_{1})}$ .

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен^[4].