WikiSort.ru - Не сортированное

Обратная теорема или обратное утверждение к данной теореме — это утверждение, в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием.

Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ , в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ является обратной к ней^[1].

Часто используется более общее определение обратной теоремы: если ${\displaystyle (A\land C)\Rightarrow B}$ является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема ${\displaystyle B\Rightarrow (A\land C)}$ , но и теоремы ${\displaystyle (B\land A)\Rightarrow C}$ , ${\displaystyle (B\land C)\Rightarrow A}$ ^[2].

Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})}$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: ${\displaystyle (B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})}$ ^[3]

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$ , прямой, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ выполняется ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ , то угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$ , прямой.

• Теорема Абеля и теорема Абеля — Таубера
• Теоремы о вершинах подерного треугольника
• Прямая и обратная предельная теорема
• В ином смысле: теоремы Шеннона для источника общего вида

См. также

• Противоположная теорема

Примечания

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 20 июня 2017 года.