WikiSort.ru - Не сортированное

Вероятности

Результат броска каждой из кости из набора больше результата бросания следующей кости с вероятностью 2/3:

${\displaystyle P(A>B)=P(B>C)=P(C>D)=P(D>A)={2 \over 3}}$

Результат бросания кости B определен заранее; кость A превысит этот результат в 2/3 случаев, поскольку числа на четырёх из шести его граней больше.

Аналогично, кость B превысит результат C с вероятностью 2/3, поскольку у C только на двух гранях числа большие.

P(C>D) согласно результатам составления условных вероятностей двух событий:

• При бросании C выпадает 6 (вероятность 1/3); C дает больший результат, независимо от результата бросания D (вероятность 1)
• При бросании C выпадает 2 (вероятность 2/3); C дает больший результат, за исключением получения 5 при бросании D (вероятность 1/2)

Суммарная вероятность выигрыша C таким образом составляет:

${\displaystyle \left({1 \over 3}\times 1\right)+\left({2 \over 3}\times {1 \over 2}\right)={2 \over 3}}$

Аналогичным образом вероятность выигрыша при бросании D по сравнению с бросанием A составляет:

${\displaystyle \left({1 \over 2}\times 1\right)+\left({1 \over 2}\times {1 \over 3}\right)={2 \over 3}}$

Лучшая кость

Четыре кости из набора Эфрона, впрочем, имеют разные вероятности выигрыша в игре против кости, выбранной случайным образом из оставшихся трех.

Согласно расчетам, выше бросание кости A дает больший результат бросания B в двух третях случаев, впрочем может победить D только в каждом третьем случае. Вероятность же лучшего результата при бросании A по сравнению с бросанием C составляет 4/9 (на A должно выпасть 4 и на C должно выпасть 2). Таким образом общая вероятность получения при бросании A большего числа, чем при бросании другой кости, выбранной случайным образом:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{4 \over 9}\right)={13 \over 27}}$

Аналогично, B побеждает C с вероятностью 2/3 и может победить A в 1/3 случаев. Вероятность кости B дать при бросании результат больший, чем кости D, составляет 1/2 (вероятность выпадения 1 на кубике D). Таким образом вероятность победы B над другой костью из набора:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}}$

Кость C побеждает D в двух третях случаев и имеет вероятность 1/3 выигрыша у кубика B. Вероятность её выигрыша у кубика A составляет 5/9. Совокупная вероятность победы C над выбранным случайным образом «соперником»:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{5 \over 9}\right)={14 \over 27}}$

Наконец D в 2/3 случаев побеждает A и в 1/3 случаев побеждает C. Вероятность, что результат броска этой кости превысит результат бросания B составляет 1/2 (вероятность выпадения 5 на D). Поэтому D даст результат, больший, чем у выбранной случайным образом кости с вероятностью:

${\displaystyle {1 \over 3}\times \left({2 \over 3}+{1 \over 3}+{1 \over 2}\right)={1 \over 2}}$

Таким образом, кость C является наилучшей из набора с точки зрения вероятности выпадения числа, большего чем результат бросания любой другой кости из набора. Для неё такая вероятность составляет 0,5185. Кость C также характеризуется наибольшим математическим ожиданием результата бросания — 3+¹⁄₃ (для A оно составляет 2+²⁄₃, а для B и D равно 3).

Варианты с одинаковыми суммами чисел

Как отмечалось выше, кости Эфрона характеризуются различными математическими ожиданиями результатов бросания, то есть, по сути, разными суммами чисел, нанесенными на их грани. Для A такая сумма составляет 16, в то время как для B и D 18, а для C 20. Поскольку нетранзитивность набора костей зависит от относительной величины чисел на их гранях, а не от их абсолютной величины, можно подобрать такие варианты чисел, для которых при неизменных вероятностях победы при бросании суммы чисел на гранях костей (а так и математическое ожидание результатов их бросания) будут одинаковыми. Примерами таких вариантов являются:

• A: 6, 6, 6, 6, 0, 0
• B: 4, 4, 4, 4, 4, 4
• C: 8, 8, 2, 2, 2, 2
• D: 7, 7, 7, 1, 1, 1

или

• A: 7, 7, 7, 7, 1, 1
• B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
• C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
• D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Указанные варианты костей иллюстрируют важность характеристик распределения вероятностей при сравнении случайных величин, поскольку являются примерами наборов величин, которые имеют одинаковые математические ожидания, однако существенно отличаются по результатам «игры» с их использованием.

Отношение к костям Ефрона

Кости с числами от 1 до 24 по сути является аналогом костей Эфрона, поскольку с точки зрения относительного результата бросание пары костей на каждом из них каждое из последовательных чисел может быть заменено на наименьшее среди них. Если после такой замены числа, что остались на всех костях, проранжировать и изменить на соответствующий ранг (от 0 до 6), то получатся кости Эфрона.

• A: 1, 2, 16, 17, 18, 19 -> 1, 1, 16, 16, 16, 16 -> 0, 0, 4, 4, 4, 4
• B: 3, 4, 5, 20, 21, 22 -> 3, 3, 3, 20, 20, 20 -> 1, 1, 1, 5, 5, 5
• C: 6, 7, 8, 9, 23, 24 -> 6, 6, 6, 6, 23, 23 -> 2, 2, 2, 2, 6, 6
• D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 -> 10, 10, 10, 10, 10, 10 -> 3, 3, 3, 3, 3, 3