WikiSort.ru - Не сортированное

Для одного треугольника

Пусть дан один конечный элемент, для простоты — треугольный. Матрица жёсткости, по сути, задаёт связи между узлами. Так как у элемента три узла (в локальной нумерации — 0, 1 и 2), то матрица будет иметь вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{00}&S_{01}&S_{02}\\S_{10}&S_{11}&S_{12}\\S_{20}&S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}}}$

В дальнейшем матрицу для одного треугольника будем называть локальной, для всей сетки сразу - глобальной.

В общем случае, элементы ${\displaystyle S_{ij}}$ определеяются через линейные функции

${\displaystyle \alpha _{1}={\cfrac {1}{4A}}{\big (}(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})\;+\;(y_{1}-y_{2})x\;+\;(x_{2}-x_{1})y{\big )}.}$

где

${\displaystyle A}$  — площадь треугольного элемента.

${\displaystyle \alpha _{2}}$ и ${\displaystyle \alpha _{3}}$ получаются из ${\displaystyle \alpha _{1}}$ цикличной перестановкой индексов. Удобно искать ${\displaystyle A}$ как определитель матрицы

${\displaystyle A=\det {\begin{bmatrix}1&x_{1}&y_{1}\\1&x_{2}&y_{2}\\1&x_{3}&y_{3}\end{bmatrix}}}$

Сами ${\displaystyle S_{ij}=\int (\nabla \alpha _{i})(\nabla \alpha _{j})dS\;\;\;\;\;i,j=0,1,2}$

В описываемом случае для каждого треугольника составляется такая матрица:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{00}=0&S_{01}={\cfrac {(y_{1}-y_{2})(y_{2}-y_{0})+(x_{2}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}{4A}}&S_{02}={\cfrac {(y_{2}-y_{1})(y_{1}-y_{0})+(x_{1}-x_{2})(x_{0}-x_{1})}{4A}}\\S_{10}={\cfrac {(y_{0}-y_{2})(y_{2}-y_{1})+(x_{2}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}{4A}}&S_{11}=0&S_{12}={\cfrac {(y_{2}-y_{0})(y_{0}-y_{1})+(x_{0}-x_{2})(x_{1}-x_{0})}{4A}}\\S_{20}={\cfrac {(y_{0}-y_{1})(y_{1}-y_{2})+(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}{4A}}&S_{21}={\cfrac {(y_{1}-y_{0})(y_{0}-y_{2})+(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}{4A}}&S_{22}=0\end{bmatrix}}}$

Первый вид обобщения на несколько треугольников

Для того, чтобы сделать из многих раздельных матриц, полученых выше, одну большую матрицу, описывающую отношения между узлами всей области расчёта, необходимо произвести процедуру объединения матриц. Пусть символ ${\displaystyle d}$ обозначает разделённые элементы (рис. а), а символ ${\displaystyle c}$  — объединённые элементы (рис. б).

Обозначим ${\displaystyle u_{d}^{T}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}&u_{4}&u_{5}&u_{6}\end{bmatrix}}}$  — вектор-строку значений функции в вершинах двух треугольников (см.рис). Символ ${\displaystyle u^{T}}$ обозначает транспонирование матрицы ${\displaystyle u.}$ То есть, это вектор значений функции в шести узлах треугольников. Очевидно, что при объединении оных получится вектор ${\displaystyle u_{c}}$ , содержащий только четыре компоненты.

Преобразование происходит по схеме

${\displaystyle u_{d}=Cu_{c}\;\Leftrightarrow \;{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\\u_{5}\\u_{6}\end{bmatrix}}\;=\;{\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&1&&\\&&&1\\1&&&\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\\\end{bmatrix}}}$

Нумерация, конечно же, произвольная: необходимо равенство функции в соответствующих вершинах. Матрицу ${\displaystyle C}$ называют матрицей преобразования, а само уравнение называют связанной системой.

Запишем теперь матрицу жёсткости для двух треугольников:

${\displaystyle S_{d}={\begin{bmatrix}S^{(1)}&0\\0&S^{(2)}\end{bmatrix}}\;\Leftrightarrow \;{\begin{bmatrix}S_{00}&S_{01}&S_{02}&&&\\S_{10}&S_{11}&S_{12}&&&\\S_{20}&S_{21}&S_{22}&&&\\&&&S_{33}&S_{34}&S_{35}\\&&&S_{43}&S_{44}&S_{45}\\&&&S_{53}&S_{54}&S_{55}\\\end{bmatrix}}}$

Результирующая матрица ${\displaystyle S_{global}=C^{T}S_{d}C=}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}S_{00}^{(1)}+S_{55}^{(2)}&S_{01}^{(1)}+S_{53}^{(2)}&S_{02}^{(1)}&S_{54}^{(2)}\\S_{10}^{(1)}+S_{35}^{(2)}&S_{11}^{(1)}+S_{33}^{(2)}&S_{12}^{(1)}&S_{34}^{(2)}\\S_{20}^{(1)}&S_{20}^{(1)}&S_{22}^{(1)}&0\\S_{45}^{(2)}&S_{43}^{(2)}&0&S_{44}^{(2)}\\\end{bmatrix}}}$

То есть, на каждом следующем шаге необходимо добавлять новые элементы к уже существующим.

Второй вид обобщения на несколько треугольников

Пусть есть область, представленная и разбитая на треугольники так, как преставлено на рисунке. Пусть данная сетка содержит ${\displaystyle N}$ узлов. Создадим глобальную матрицу ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ (размера, очевидно, ${\displaystyle N\times N}$ ) и заполним её нулями. Начнём строить локальные матрицы ${\displaystyle S}$ для треугольников, например, для ${\displaystyle \Delta 036.}$

Введём локальную нумерацию для данного треугольника: пусть его верхняя вершина имеет локальный номер ${\displaystyle 0}$ , далее по часовой стрелке ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$ . Иначе говоря, пусть глобальным номерам ${\displaystyle 0,3,6}$ соответствуют локальные номера ${\displaystyle 0,1,2}$ соответственно.

Составим матрицу для этого треугольника так, как описано выше, получив что-то типа

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}S_{00}&S_{01}&S_{02}\\S_{10}&S_{11}&S_{12}\\S_{20}&S_{21}&S_{22}\end{bmatrix}}}$

Теперь заменим локальную нумерацию на глобальную. То есть запишем локальное число ${\displaystyle S_{00}}$ как глобальное число ${\displaystyle {\mathfrak {S_{00}}}}$ , ${\displaystyle S_{01}}$ - как ${\displaystyle {\mathfrak {S_{03}}}}$ , ${\displaystyle S_{02}}$ - как ${\displaystyle {\mathfrak {S_{06}}}}$ и так далее.

Получим

${\displaystyle {\mathfrak {S}}={\begin{bmatrix}S_{00}&0&0&S_{03}&0&0&S_{06}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\S_{10}&0&0&S_{13}&0&0&S_{16}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\S_{20}&0&0&S_{21}&0&0&S_{22}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

С остальными треугольниками поступаем аналогично. Необходимо помнить, что надо "дописать" число в глобальную ячейку, то есть прибавить к уже существующему.

Условия Дирихле

В случае граничных условий первого рода необходимо изменить матрицу ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ .

Граничное условие гласит, что функция в узлах на границе равна нулю. Для узла ${\displaystyle u_{i,j}}$ необходимо вычеркнуть ${\displaystyle i}$ -й столбей и ${\displaystyle j}$ -ю строку в матрице ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ , а также вычеркнуть сам узел из массива узлов решётки.

Условия Нейнмана

В случае граничных условий второго рода глобальная матрица не меняется.