WikiSort.ru - Не сортированное

В геометрии Лемма о шестой окружности^[1] утверждает следующее.

Рисунок справа ниже будет соответствовать последней формулировке теоремы, если обозначить ${\displaystyle Z=A_{1},Y=B_{1},X=C_{1},W=D_{1}}$ .

Замечание

Сформулированную выше теорему также называют теоремой Микеля о шести окружностях без её привязки к конкретному четырёхугольнику (см. рис. ниже).) Пусть на окружности заданы 4 точки, «А», «B», «C» и «D», и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»'^[2] (см. рис).

Следствия

• ${\displaystyle ABCD}$  — вписанный четырёхугольник. ${\displaystyle A_{1}}$  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины ${\displaystyle A}$ на диагональ ${\displaystyle BD}$ ; аналогично определяются точки ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}$ . Тогда точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
• ${\displaystyle ABCD}$  — вписанный четырёхугольник. ${\displaystyle A_{1}}$  — центр вписанной окружности треугольника BCD; аналогично определяются точки ${\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}$ . Тогда ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}$  — прямоугольник. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности. Это следствие иногда называют называют японской теоремой (Japanese theorem)(см. рис.).

• Пусть окружность, вписанная в произвольный треугольник ${\displaystyle ABC}$ , касается стороны ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle X}$ , а вневписанная окружность касается стороны ${\displaystyle AC}$ в точке ${\displaystyle Y}$ . Тогда точки ${\displaystyle A_{1},Y,C_{1},X}$ лежат на одной окружности. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.
• В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle A_{1},C_{1}}$  — основания перпендикуляров, опущенных на биссектрису угла ${\displaystyle B}$ из вершин ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно; ${\displaystyle BB_{1}}$  — высота, ${\displaystyle D_{1}}$  — середина стороны ${\displaystyle AC}$ . Тогда точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ и ${\displaystyle D_{1}}$ лежат на одной окружности. Более того, центр окружности, проходящей через точки ${\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}}$ , лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. Доказательство вытекает из леммы о шестой окружности.

История

Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем^[3].

Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»^[4]

Возможные вариации и обобщения

Интересно то, что дальнейшее обобщение этой теоремы до Леммы о седьмой окружности невозможно. На это указывает следующий контрпример в виде рисунка справа, взятого из раздела Точка Микеля (см. параграф «Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)»). На это указывает следующее очевидное утверждение:

«Если 5 окружностей (на рисунке они чёрного цвета) имеют 5 точек их попарного пересечения M, N, P, R, Q , лежащих на одной (синей) окружности (всего 6 окружностей), то из этого, в общем случае, вовсе не следует то, что 5 других (не упомянутых выше) точек их попарного пересечения A, B, C, D, E также будут лежать на одной окружности (на 7-ой окружности)).» На рисунке это достаточно очевидно, так как пятиугольник ABCDE явно не вписан в окружность (7-ую по счету).

См. также

• Теорема о шести окружностях
• Теорема Микеля о шести окружностях
• Теорема о пяти кругах

Примечания

Литература

• Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, vol. 19, New Mathematical Library, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2 
• Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson 
• Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3 
• Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0 
• Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3 
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6