WikiSort.ru - Не сортированное

Критерий Краскела — Уоллиса предназначен для проверки равенства медиан нескольких выборок. Данный критерий является многомерным обобщением критерия Уилкоксона — Манна — Уитни. Критерий Краскела — Уоллиса является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения.

Известен также под названиями: H-критерий Краскела — Уоллиса, односторонний дисперсионный анализ Краскела — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis one-way analysis of variance), тест Крускала — Уоллиса (англ. Kruskal — Wallis test). Назван в честь американских математиков Уильяма Краскела и Аллена Уоллиса.

Примеры задач

Проходит чемпионат мира по футболу. Первая выборка — опрос болельщиков с вопросом «Каковы шансы на победу сборной России?» до начала чемпионата. Вторая выборка —- после первой игры, третья — после второго матча и т. д. Значения в выборках — шансы России на победу по десятибалльной шкале (1 —- «никаких перспектив», 10 — «отвезти в Россию кубок —- дело времени»). Требуется проверить, зависят ли результаты опросов от хода чемпионата.

Описание критерия

Заданы ${\displaystyle k}$ выборок:

${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}=\{x_{11},\;\ldots ,\;x_{1n_{1}}\},\;\ldots ,\;x_{k}^{n_{k}}=\{x_{k1},\;\ldots ,\;x_{kn_{k}}\}}$ .

Объединённая выборка будет иметь вид:

${\displaystyle x=x_{1}^{n_{1}}\cup x_{2}^{n_{2}}\cup \ldots \cup x_{k}^{n_{k}}.}$

Дополнительные предположения:

1. обе выборки простые, объединённая выборка независима;
2. выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений ${\displaystyle F_{1}(x),\;\ldots ,\;F_{k}(x)}$ .

Проверяется нулевая гипотеза ${\displaystyle H_{0}\colon F_{1}(x)=\ldots =F_{k}(x)}$ при альтернативе ${\displaystyle H_{1}\colon F_{1}(x)=F_{2}(x-\Delta _{1})=\ldots =F_{k}(x-\Delta _{k-1})}$ .

Упорядочим все ${\displaystyle N=\sum _{i=1}^{k}n_{i}}$ элементов выборок по возрастанию и обозначим ${\displaystyle R_{ij}}$ ранг ${\displaystyle j}$ -го элемента ${\displaystyle i}$ -й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика критерия Краскела — Уоллиса для проверки гипотезы о наличии сдвига в параметрах положения двух сравниваемых выборок имеет вид:

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{k}\left(1-{\frac {n_{i}}{N}}\right)\left\{{\frac {{\bar {R}}_{i}-{\dfrac {N+1}{2}}}{\sqrt {\dfrac {(N-n_{i})(N+1)}{12n_{i}}}}}\right\}^{2}={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}n_{i}\left({\bar {R}}_{i}-{\frac {N+1}{2}}\right)^{2}=}$

${\displaystyle ={\frac {12}{N(N+1)}}\sum _{i=1}^{k}{\frac {R_{i}^{2}}{n_{i}}}-3(N+1)}$ ,

где

${\displaystyle R_{i}=\sum _{j=1}^{k}R_{ij}}$ ;

${\displaystyle {\bar {R}}_{i}={\frac {1}{n_{i}}}R_{i}}$ .

Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости ${\displaystyle \alpha }$ , если ${\displaystyle H\geqslant H_{\alpha }}$ , где ${\displaystyle H_{\alpha }}$  — критическое значение, при ${\displaystyle k\leqslant 5}$ и ${\displaystyle n_{i}\leqslant 8}$ вычисляемое по таблицам. При бо́льших значениях применимы различные аппроксимации.

См. также

• Критерий Кохрена

Литература

• Kruskal W. H., Wallis W. A. Use of ranks in one-criterion variance analysis. // Journal of the American Statistical Association. — 1952, 47 № 260. — pp. 583–621.
• Ликеш И., Ляга Й. Основные таблицы математической статистики. — М.: Финансы и статистика, 1985.
• Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 466—468 с.

Ссылки

• Критерий Краскела — Уоллиса