WikiSort.ru - Не сортированное

Изогения — это морфизм алгебраических групп, являющийся сюръективным и имеющий конечное ядро.

Если группами служат абелевы многообразия, то любой морфизм ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ лежащего в основе алгебраического многообразия, являющегося сюръективным с конечными слоями, автоматически является изогенией, обеспечивая ${\displaystyle f(1_{A})=1_{B}}$ . Такая изогения f даёт гомоморфизм групп между группами k-значных точек^[1] многообразий A и B для любого поля k, над которым f определено.

Термины «изогения» и «изогенный» происходят от греческого слова ισογενη-ς, означающего «равный в некотором смысле». Термин «изогения» ввёл Вейль, до этого вместо термина «изогения» использовался запутывающий термин «изоморфизм».

Случай абелевых многообразий

Для абелевых многообразий, таких как эллиптические кривые, это понятие можно сформулировать следующим образом:

Пусть E₁ и E₂ — абелевы многообразия одинаковой размерности над полем k. Изогения между E₁ и E₂ — это плотный морфизм ${\displaystyle f:E_{1}\rightarrow E_{2}}$ многообразий, сохраняющий базовые точки (то есть f отображает единицу на E₁ и единицу на E₂)^[2].

Это эквивалентно вышеприведенному понятию, поскольку любой плотный морфизм^[3] между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.

Два абелевых многообразия E₁ и E₂ называются изогенными, если существует изогения ${\displaystyle E_{1}\rightarrow E_{2}}$ . Это соотношение эквивалентности, симметричное ввиду существования двойственной изогении^[en]. Как и выше, любая изогения индуцирует гомоморфизм групп k-значных точек абелевых многообразий.

Примечания

Литература

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.