WikiSort.ru - Не сортированное

Задача Шепарда — вопрос выпуклой геометрии о сравнении объёмов двух симметричных выпуклых тел при условии, что в любом направлении площадь проекции первого не превосходит площади проекции второго.

Вопрос был сформулирован Джеффри Шепардoм^[en] в 1964 году.

Ответ на этот вопрос — «да» в размерности 2 и «нет» в размерности 3 и выше. Последнее было доказано независимо Петти и Шнайдером в 1967 году.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K}$ и ${\displaystyle L}$ — два центрально-симметричных выпуклых тела в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве. Предположим, площадь ортогональной проекции ${\displaystyle K}$ на произвольную гиперплоскость ${\displaystyle \Pi }$ не превышает площади ортогональной проекции ${\displaystyle L}$ на ${\displaystyle \Pi }$ . Верно ли, что объём ${\displaystyle K}$ не превышает объёма ${\displaystyle L}$ ?

См. также

• Задача Буземана — Петти

Ссылки

• Petty, C.M. (1967). “Projection bodies”. Proc. Colloquium on Convexity (Copenhagen, 1965). Kobenhavns Univ. Mat. Inst., Copenhagen: 234—241.
• Schneider, Rolf (1967). “Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper”. Math. Z. [нем.]. 101: 71—82. DOI:10.1007/BF01135693.
• Shephard, G. C. (1964), "Shadow systems of convex sets", Israel Journal of Mathematics Т. 2: 229–236, ISSN 0021-2172, DOI 10.1007/BF02759738