WikiSort.ru - Не сортированное

Двойной маятник состоит из двух маятников скреплённых концом к концу

В физике и математике, в отрасли динамических систем, двойной маятник — это маятник с другим маятником, прикреплённым к его концу. Двойной маятник является простой физической системой, которая проявляет разнообразное динамическое поведение со значительной зависимостью от начальных условий^[1]. Движение маятника руководствуется связанными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Для некоторых энергий его движение является хаотическим.

Анализ

Можно рассматривать несколько вариантов двойных маятников: два звена могут быть одинаковыми или иметь разную длину и вес; они могут быть простыми маятниками или физическими маятниками; движение может происходить в трёх измерениях или быть ограничено вертикальной плоскостью. В следующем анализе звенья избраны как одинаковые физические маятники длины $\ell$ и массы $m$ , и их движение ограничено двумя измерениями.

У физического маятника масса распределена вдоль всей его длины. Если масса распределена равномерно, тогда центр масс каждого звена совпадает с его геометрическим центром, и звено имеет такой момент инерции $\textstyle I={\frac {1}{12}}m\ell ^{2}$ относительно этой точки.

Удобно использовать углы между каждым звеном и вертикалью как обобщённые координаты, определяя пространство конфигураций системы. Если положить начало координат декартовой системы координат в точке подвешивания первого маятника, тогда центр масс этого маятника находится в:

{\begin{cases}x_{1}={\frac {\ell }{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}=-{\frac {\ell }{2}}\cos \theta _{1}\end{cases}}

и центр масс другого в

{\begin{cases}x_{2}=\ell \left(\sin \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}=-\ell \left(\cos \theta _{1}+{\frac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right).\end{cases}}

Этой информации достаточно для того чтобы записать Лагранжиан.

Лагранжиан

Лагранжиан является разницей между кинетической энергией и потенциальной энергией:

{\begin{aligned}L&={\frac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\frac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}

Первое слагаемое это линейная кинетическая энергия центра масс тел, второе слагаемое это вращательная кинетическая энергия центров масс каждого из стержней. Последнее слагаемое это потенциальная энергия тел в однородном гравитационном поле.

Подставив координаты и перегруппируя уравнения имеем

L={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]+{\frac {1}{2}}mg\ell \left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).

Движение двойного физического маятника (из численного интегрирования уравнения движения)

При большой выдержке, двойной маятник проявляет хаотическое движение (отслежен с помощью светодиодов)

Обобщенные импульсы можно записать как

{\begin{cases}p_{\theta _{1}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{1}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[8{{\dot {\theta }}_{1}}+3{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right]\\\\p_{\theta _{2}}\equiv {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\theta }}_{2}}}}={\frac {1}{6}}m\ell ^{2}\left[2{{\dot {\theta }}_{2}}+3{{\dot {\theta }}_{1}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right].\end{cases}}

Эти выражения можно преобразовать, чтобы получить

{\begin{cases}{{\dot {\theta }}_{1}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {2p_{\theta _{1}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{2}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}\\\\{{\dot {\theta }}_{2}}={\frac {6}{m\ell ^{2}}}{\frac {8p_{\theta _{2}}-3\cos(\theta _{1}-\theta _{2})p_{\theta _{1}}}{16-9\cos ^{2}(\theta _{1}-\theta _{2})}}.\end{cases}}

Уравнения движения, получаемые из уравнений Эйлера — Лагранжа, можно записать как

{\begin{cases}{{\dot {p}}_{\theta _{1}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{1}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+3{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{1}\right]\\\\{{\dot {p}}_{\theta _{2}}}={\frac {\partial L}{\partial \theta _{2}}}=-{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}\left[-{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\sin(\theta _{1}-\theta _{2})+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta _{2}\right].\end{cases}}

Последние четыре уравнения являются явными формулами для временной эволюций системы с заданным текущим состоянием. Невозможно продвинуться дальше и интегрировать эти уравнения аналитически, чтобы получить формулы для θ₁ и θ₂ как функции от времени. Однако, возможно выполнить числовое интегрирование, используя метод Рунге — Кутты или подобную технику.

Примечания

↑ Levien RB and Tan SM. Double Pendulum : An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11) : 1038

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Levien RB and Tan SM. Double Pendulum : An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11) : 1038