WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей

Рассмотрим две точки — ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$  — некоторой механической системы, и пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$  — их текущие положения. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей в общем случае формулируется следующим образом: «Если на точки ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$ наложена жёсткая связь, то проекции их скоростей на прямую, соединяющую текущие положения этих точек, равны»:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!A}}\;=\;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{B}}}$ .

Обычно данную теорему применяют к точкам абсолютно твёрдого тела, и в этом случае её формулируют так: «Проекции скоростей двух произвольных точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны между собой»^[10].

Приведём доказательство этой теоремы. Достаточно показать, что

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,(\mathbf {v} _{_{B}}-\mathbf {v} _{_{\!A}})\;\equiv \;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!AB}}\;=\;0}$

(здесь ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!AB}}}$  — скорость точки ${\displaystyle B^{*}}$ относительно точки ${\displaystyle A^{*}}$ ).

Дифференцируя по времени ${\displaystyle t}$ условие жёсткой связи

${\displaystyle (\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {r} _{_{\!AB}})\;=\;\mathrm {const} }$

(представленное в виде условия постоянства скалярного квадрата радиус-вектора точки ${\displaystyle B}$ относительно точки ${\displaystyle A}$ ), получаем:

${\displaystyle \left(\,{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right)\,+\,\left(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,{\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right)\;\equiv \;2\,(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ .

Итак, ${\displaystyle (\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ , то есть ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!AB}}\perp \mathbf {r} _{_{\!AB}}}$ .

Пусть теперь ${\displaystyle \mathbf {e} \,=\,\mathbf {r} _{_{\!AB}}/\left|\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right|}$  — единичный вектор оси ${\displaystyle AB}$ . Имеем:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!AB}}\;=\;(\,\mathbf {e} ,\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;{1 \over \left|\mathbf {r} _{_{\!AB}}\right|}\,(\,\mathbf {r} _{_{\!AB}},\,\mathbf {v} _{_{\!AB}})\;=\;0}$ .

Теорема доказана.

${\displaystyle A}$

${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V_{A}}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle V_{B}}$

Теорема Грасгофа о проекциях скоростей нередко оказывается полезной при решении конкретных задач кинематики абсолютно твёрдого тела. Вот — типичный пример.

Пусть ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle B^{*}}$  — точки абсолютно твёрдого тела, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$  — углы векторов ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{\!A}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ с прямой ${\displaystyle AB}$ . Найти ${\displaystyle V_{B}}$ , если известны ${\displaystyle V_{A}}$ , ${\displaystyle \alpha }$ , ${\displaystyle \beta }$ (жирный шрифт при наборе ${\displaystyle V_{B}}$ не использовался, так что речь идёт о нахождении модуля вектора скорости точки ${\displaystyle B^{*}}$ ).

Имеем:

${\displaystyle \mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{\!A}}\;=\;\mathrm {pr} _{_{AB}}\,\mathbf {v} _{_{B}}}$ ,

то есть

${\displaystyle V_{A}\,\cos \,\alpha \;=\;V_{B}\,\cos \,\beta }$ ;

отсюда

${\displaystyle V_{B}\;=\;V_{A}\,{{\cos \,\alpha } \over {\cos \,\beta }}}$ .

Решение задачи найдено. Подчеркнём ещё раз, что мы нашли только модуль вектора ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ . Полностью найти вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{_{B}}}$ , пользуясь только теоремой Грасгофа, мы бы не смогли.

Так обстоят дела и в общем случае. Теорема Грасгофа о проекциях скоростей сама по себе не позволяет решать задачи кинематики до конца: всегда требуется какая-либо дополнительная информация.

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике

Данная теорема (иногда именуемая также^[14] правилом Грасгофа) устанавливает условие существования кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике. Речь идёт^[15] о плоском механизме из трёх подвижных звеньев (то есть^[16] твёрдых тел, образующих механизм) 1, 2, 3 и стойки (неподвижного звена) 0, у которого все звенья соединены между собой вращательными кинематическими парами.

${\displaystyle y}$

${\displaystyle O}$

${\displaystyle {\mathit {1}}}$

${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\mathit {2}}}$

${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\mathit {3}}}$

${\displaystyle C}$

${\displaystyle x}$

Для звеньев плоских механизмов в теории механизмов и машин используют^[15] следующую терминологию:

• кривошип — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой и может совершать вокруг оси пары полный оборот;
• коромысло — звено плоского механизма, которое образует вращательную пару со стойкой, но не может совершать полный оборот вокруг оси пары;
• шатун — звено плоского механизма, связанное вращательными парами с подвижными его звеньями, но не со стойкой.

Теорема Грасгофа о шарнирном четырёхзвеннике формулируется так: "Наименьшее звено является кривошипом, если сумма длин наименьшего и любого другого звена меньше суммы длин остальных двух звеньев^[17] (под «наименьшим» понимается звено минимальной длины).

Поясним данную формулировку. Пусть ${\displaystyle a}$  — длина самого короткого звена (для механизма, изображённого на рисунке, ${\displaystyle a=\left|OA\right|}$ ), ${\displaystyle d}$  — длина одного из соединённых с ним звеньев, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$  — длины остальных звеньев механизма.

Предположим сначала, что ${\displaystyle d\,>\,b}$ и ${\displaystyle d\,>\,c}$ (на рисунке, где ${\displaystyle b=\left|AB\right|}$ , ${\displaystyle c=\left|BC\right|}$ , ${\displaystyle d=\left|OC\right|}$ , это именно так). Элементарный геометрический анализ показывает^[14], что условием полной проворачиваемости звена наименьшей длины относительно звена длины ${\displaystyle d}$   является выполнение неравенства

${\displaystyle a\,+\,d\;<\;b\,+\,c}$ .

Если же ${\displaystyle d\,<\,b}$ или ${\displaystyle d\,<\,c}$ , то данное неравенство тем более будет выполняться. Из этих рассмотрений и следует^[14] справедливость теоремы Грасгофа в приведённой выше формулировке (рассмотрение предельного случая, когда неравенство обращается в равенство, мы опускаем).

Применяя правило Грасгофа, удаётся подразделить^[18] все шарнирные четырёхзвенники на 3 группы:

• механизм будет кривошипно-коромысловым, если длины его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за стойку принято звено, соседнее с наименьшим;
• механизм будет двухкривошипным, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев, и за стойку принято самое короткое звено;
• механизм будет двухкоромысловым, если либо правило Грасгофа не выполнено, либо оно выполнено, но самое короткое звено не соединено со стойкой (то есть оно является шатуном и потому не может быть кривошипом).

Так, изображённый на рисунке шарнирный четырёхзвенник является двухкоромысловым механизмом, поскольку правило Грасгофа для него не выполняется.