WikiSort.ru - Не сортированное

Гипо́теза Хадвигера (комбинаторная геометрия) — гипотеза в комбинаторной геометрии, утверждающая, что любое выпуклое тело в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве можно покрыть ${\displaystyle 2^{n}}$ -меньшими гомотетичными покрываемому телу телами^[1], и что параллелипипеды являются единственными телами, которые можно покрыть лишь ${\displaystyle 2^{n}}$ -меньшими гомотетичными покрываемому телу телами. Справедливость этой гипотезы неизвестна для ${\displaystyle n\geqslant 3}$ .

История

Гипотеза была выдвинута Гуго Хадвигером в 1957 г.^[2] А.Ю. Левин и Ю.И. Петунин доказали, что для всякого ${\displaystyle n}$ -мерного центрально-симметричного выпуклого тела справедливо неравенство ${\displaystyle N\leqslant (n+1)^{n}}$ .^[3] В 1963 г. Роджерс получил для центрально-симметричных тел оценку ${\displaystyle N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)}$ ^[4]

Формулировка в терминах задачи освещения

Можно показать, что наименьшее число гомотетичных исходному тел, необходимых для покрытия ${\displaystyle n}$ -мерного выпуклого тела, равно наименьшему числу направлений, достаточных для полного освещения этого тела.^[5]

Примечания

Литература

• В.Г. Болтянский, И.Ц. Гохберг. Теоремы и задачи комбинаторной геометрии. — М.: Наука, 1965. — 107 с.