WikiSort.ru - Не сортированное

Алгоритм Брезенхе́ма (англ. Bresenham's line algorithm) — это алгоритм, определяющий, какие точки двумерного растра нужно закрасить, чтобы получить близкое приближение прямой линии между двумя заданными точками. Это один из старейших алгоритмов в машинной графике — он был разработан Джеком Элтоном Брезенхэмом (англ. Jack Elton Bresenham) в компании IBM в 1962 году. Алгоритм широко используется, в частности, для рисования линий на экране компьютера. Существует обобщение алгоритма Брезенхэма для построения кривых 2-го порядка.

Алгоритм

Отрезок проводится между двумя точками — ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ и ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ , где в этих парах указаны столбец и строка соответственно, номера которых растут вправо и вниз. Сначала мы будем предполагать, что наша линия идёт вправо и вниз, причём горизонтальное расстояние ${\displaystyle x_{1}-x_{0}}$ превосходит вертикальное ${\displaystyle y_{1}-y_{0}}$ , то есть наклон линии от горизонтали — менее 45°. Наша цель состоит в том, чтобы для каждого столбца x между ${\displaystyle x_{0}}$ и ${\displaystyle x_{1}}$ определить, какая строка y ближе всего к линии, и нарисовать точку ${\displaystyle (x,y)}$ .

Общая формула линии между двумя точками:

${\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0}).}$

Поскольку мы знаем колонку ${\displaystyle x}$ , то строка ${\displaystyle y}$ получается округлением к целому следующего значения:

${\displaystyle y={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x-x_{0})+y_{0}.}$

Однако, вычислять точное значение этого выражения нет необходимости. Достаточно заметить, что ${\displaystyle y}$ уменьшается от ${\displaystyle y_{0}}$ и за каждый шаг мы добавляем к ${\displaystyle x}$ единицу и добавляем к ${\displaystyle y}$ значение наклона (в нашем случае значение наклона будет отрицательным числом):

${\displaystyle s={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}},}$

которое можно вычислить заранее. Более того, на каждом шаге мы делаем одно из двух: либо сохраняем тот же y, либо уменьшаем его на 1.

Что из этих двух выбрать — можно решить, отслеживая значение ошибки, которое означает — вертикальное расстояние между текущим значением y и точным значением y для текущего x. Всякий раз, когда мы увеличиваем x, мы увеличиваем значение ошибки на величину наклона s, приведённую выше. Если ошибка превысила 0.5, линия стала ближе к следующему y, поэтому мы уменьшаем y на единицу, одновременно уменьшая значение ошибки на 1. В реализации алгоритма, приведённой ниже, plot(x,y) рисует точку, а abs возвращает абсолютную величину числа:

 function line(x0, x1, y0, y1)
     int deltax := abs(x1 - x0)
     int deltay := abs(y1 - y0)
     real error := 0
     real deltaerr := deltay / deltax
     int y := y0
     int diry := y1 - y0
     if diry > 0 
         diry = 1
     if diry < 0 
         diry = -1
     for x from x0 to x1
         plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if error >= 0.5
             y := y + diry
             error := error - 1.0

Проблема такого подхода — в том, что с вещественными величинами, такими как error и deltaerr, компьютеры работают относительно медленно. Кроме того, при вычислениях с плавающей точкой может накапливаться ошибка. По этим причинам лучше работать только с целыми числами. Это можно сделать, если умножить все используемые вещественные величины на deltax. Единственная проблема — с константой 0.5 — но в данном случае достаточно умножить обе части неравенства на 2. Получаем следующий код:

 function line(x0, x1, y0, y1)
     int deltax := abs(x1 - x0)
     int deltay := abs(y1 - y0)
     int error := 0
     int deltaerr := deltay
     int y := y0
     int diry := y1 - y0
     if diry > 0 
         diry = 1
     if diry < 0 
         diry = -1
     for x from x0 to x1
         plot(x,y)
         error := error + deltaerr
         if 2 * error >= deltax
             y := y + diry
             error := error - deltax

Умножение на 2 для целых чисел, представленных в дополнительном коде, можно реализовать битовым сдвигом влево. Однако, если число отрицательное, представленное в прямом либо обратном кодах, возможно возникновение искажений результата. В частности, в случае прямого кода, при сдвиге может быть обнулён бит знака. При представлении отрицательного числа в обратном коде, при битовом сдвиге влево, станут равны нулю все младшие биты результата, что приведёт к его уменьшению (т.е. к увеличению абсолютного значения), относительно ожидаемого.

Теперь мы можем быстро рисовать линии, направленные вправо-вниз с величиной наклона меньше 1. Осталось распространить алгоритм на рисование во всех направлениях. Это достигается за счёт зеркальных отражений, то есть заменой знака (шаг в 1 заменяется на −1), обменом переменных x и y, обменом координат начала отрезка с координатами конца.

Рисование окружностей

Также существует алгоритм Брезенхэма для рисования окружностей. По методу построения он похож на рисование линии. В этом алгоритме строится дуга окружности для первого квадранта, а координаты точек окружности для остальных квадрантов получаются симметрично. На каждом шаге алгоритма рассматриваются три пикселя, и из них выбирается наиболее подходящий путём сравнения расстояний от центра до выбранного пикселя с радиусом окружности.

   // R - радиус, X1, Y1 - координаты центра
   int x := 0
   int y := R
   int delta := 1 - 2 * R
   int error := 0
   while (y >= 0)
       drawpixel(X1 + x, Y1 + y)
       drawpixel(X1 + x, Y1 - y)
       drawpixel(X1 - x, Y1 + y)
       drawpixel(X1 - x, Y1 - y)
       error = 2 * (delta + y) - 1
       if ((delta < 0) && (error <= 0))
           delta += 2 * ++x + 1
           continue
       if ((delta > 0) && (error > 0))
           delta -= 2 * --y + 1
           continue
       delta += 2 * (++x - y--)

Литература

• Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. — М.: Мир, 1989. — С. 54-63. — ISBN 5-03-000476-9.
• Шилдт Г. "Си" для профессиональных программистов. — М., 1989.

См. также

Имеется викиучебник по теме
«Алгоритм Брезенхэма»

• Алгоритмы построения отрезка
• Алгоритм Ву
• Алгоритм DDA-линии