WikiSort.ru - Не сортированное

Формулировка

${\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial t}}+{\frac {\partial H_{i}}{\partial x_{i}}}\leqslant 0}$ , где ${\displaystyle H=\int f\ln f{\frac {dp}{m}}}$ , ${\displaystyle H_{i}=\int {\frac {p_{i}}{m}}f\ln f{\frac {dp}{m}}}$ , ${\displaystyle f}$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}+{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}\cdot \mathbf {F} =Q(f,f).}$

Доказательство

Доказательство следует из неравенства Больцмана ${\displaystyle \int \ln fQ(f,f){\frac {dp}{m}}\leqslant 0}$ , где ${\displaystyle f}$ - любая функция, удовлетворяющая уравнению Больцмана, ${\displaystyle Q(f,f)}$ - интеграл столкновений. Для доказательства умножаем обе части уравнения Больцмана на ${\displaystyle 1+\ln f}$ и интегрируем по всем возможным скоростям ${\displaystyle {\frac {p}{m}}}$ . При этом используется, что ${\displaystyle d(f\ln f)=(1+\ln f)df}$ , неравенство Больцмана ${\displaystyle \int \ln fQ(f,f){\frac {dp}{m}}\leqslant 0}$ , ${\displaystyle 1}$ - инвариант столкновений, обращение ${\displaystyle f}$ в нуль при стремлении скорости к бесконечности^[2].