WikiSort.ru - Не сортированное

В криптографических системах с открытым ключом, Edwards-curve Digital Signature Algorithm (EdDSA) — схема цифровой подписи использующая вариант схемы Шнора основанной на эллиптической кривой Эдвардса^[en][1].

Она спроектирована так чтобы быть быстрее по сравнению с существующей схемой цифровой подписи без ущерба для её безопасности. Она была разработана Дэниелом Дж. Бернштейном^[en], Нильсом Дуйфом, Таней Ланге, Питером Швабе и Бо-Инь Яном.

Дизайн

Ниже приведено упрощённое описание EdDSA, не включающее в себя детали кодирования целых чисел и точек кривой как битовых строк. Полное описание и детали данной реализации цифровой подписи можно найти в документация и соответствующих RFC^[2][3][1].

В EdDSA используются следующие параметры:

• Выбор конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ порядка q:
• Выбор эллептической кривой E над полем ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ чья группа ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$ из ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ рациональных точек имеющих порядок ${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{q})=2^{c}\ell }$ , где l — большое простое число, а 2^с называется кофактором
• Выбор базовой точки ${\displaystyle B\in E(\mathbb {F} _{q})}$ с порядком l
• И выбор защищенной от коллизии хеш фушкции H с 2b-битными выходами, где 2^(b-1)>q так что элементы конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ и точек кривой в ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$ могли бы быть представлены в виде строки длинной b бит.

Эти параметры минимально необходимые для всех пользователей схемы подписи EdDSA. Безопасность подписи EdDSA очень сильно зависит от выбора параметров, за исключением произвольного выбора базовой точки. Например ро-лгоритм Поларда для логарифма должен принимать примерно ${\displaystyle {\sqrt {\ell \pi /4}}}$ кривые, перед тем как сможет вычислить логарифм,^[4] поэтому l должно быть достаточно большим что бы это было не возможно и обычно должно превышать 2^200.^[5] Выбор l ограничен выбором q, так как по теореме Хассе ${\displaystyle \#E(\mathbb {F} _{q})=2^{c}\ell }$ не должно отличаться от q+1 больше чем на ${\displaystyle 2{\sqrt {q}}}$

В рамках схемы подписи EdDSA

Публичный ключ

Открытый ключ в схеме EdDSA это точка кривой ${\displaystyle A\in E(\mathbb {F} _{q})}$ , закодированная в b битах.

Подпись

Подпись EdDSA в сообщении M посредством открытого ключа A является парой (R,S), закодированная в 2b битах, точкой кривой ${\displaystyle R\in E(\mathbb {F} _{q})}$ и целым числом ${\displaystyle 0<S<\ell }$ удовлетворяющим уравнению проверки

$${\displaystyle 2^{c}SB=2^{c}R+2^{c}H(R,A,M)A.}$$

Закрытый ключ

Закрытым ключом в схеме EdDSA называется b-битовая строка k которая должна быть выбрана равномерно случайным образом. Соответствующий окрытый ключ в данном случае это ${\displaystyle A=sB}$ , где ${\displaystyle s=H_{0,\dots ,b-1}(k)}$ является наимеменее значимым b-битом H(k) интерпретируемым как целое число в прямом порядке байтов. Подпись сообщения M это пара (R,S) где R=rB для ${\displaystyle r=H(H_{b,\dots ,2b-1}(k),M)}$ и

$${\displaystyle S\equiv r+H(R,A,M)s{\pmod {\ell }}.}$$

. Это удовлетворяет уравнению проверки

$${\displaystyle {\begin{aligned}2^{c}SB&=2^{c}(r+H(R,A,M)s)B\\&=2^{c}rB+2^{c}H(R,A,M)sB\\&=2^{c}R+2^{c}H(R,A,M)A.\end{aligned}}}$$

Ed25519

Ed25519 — схема подписи EdDSA использующая SHA-512 и Curve25519^[2] где:

• q= 2^255-19
• ${\displaystyle E/\mathbb {F} _{q}}$  — элептическая кривая Эдвардса

$${\displaystyle -x^{2}+y^{2}=1-{\frac {121665}{121666}}x^{2}y^{2},}$$

• l= 2^255+27742317777372353535851937790883648493 и с=3
• B — уникальная точка ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$ чья y координата — 4/5, а x координата — положительная(если говорить в терминах битового кодирования)

H — SHA-512, с b=256

Кривая ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$ бирационально эквивалентна кривой Монтгомери, известной как Curve25519. Эквивалентность^[6][2]

$${\displaystyle x={\frac {u}{v}}{\sqrt {-486664}},\quad y={\frac {u-1}{u+1}}.}$$

Примечания

Ссылки

• Ed25519 home page