WikiSort.ru - Не сортированное

Эквихордный центр — точка внутри плоской кривой, такая, что все хорды, проходящие через неё, равны. Кривые, имеющие эквихордный центр, называются эквихордными.

Примеры

Эквихордными кривыми являются

• Окружности, центр окружности является её эквихордным центром.
• Подера на кривой постоянной ширины относительно точки ${\displaystyle P}$ внутри кривой. При этом ${\displaystyle P}$ является её эквихордным центром.
  • В частности, для окружности получаем улитку Паскаля.

Свойства

• Любая выпуклая кривая имеет не более одного эквихордного центра.
  • То, что выпуклая кривая не может иметь трёх центров, было доказано Фудживарой в 1916 году; он же сформулировал задачу о том, что двух тоже быть не может. Задача была независимо сформулирована Вильгельмом Бляшке, Вильгельмом Ротом^[en] и Роландом Виценбёком^[en] в 1917 году и решена Мареком Рычликом в 1997-м. Его доказательство довольно сложное, оно занимает 72 страницы и использует комплексный анализ и алгебраическую геометрию.

Литература

• W. Blaschke, W. Rothe, and R. Weitztenböck. Aufgabe 552. Arch. Math. Phys., 27:82, 1917
• M. Fujiwara. Über die Mittelkurve zweier geschlossenen konvexen Curven in Bezug auf einen Punkt. Tôhoku Math J., 10:99–103, 1916
• Marek R. Rychlik (1997), "A complete solution to the equichordal point problem of Fujiwara, Blaschke, Rothe and Weitzenböck", Inventiones Mathematicae 129 (1): 141–212
• Steven G. Krantz (1997), Techniques of Problem Solving, American Mathematical Society,