WikiSort.ru - Не сортированное

Центрированные полигональные числа — это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на k больше точек, чем предыдущий (где центр слоем не считается).

Каждая последовательность может быть представлена как 1 плюс треугольное число, умноженное на число рёбер многоугольника. Так, например, центрированные квадратные числа — это учетверённые треугольные числа плюс 1.

Эти серии состоят из

• центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, … последовательность A005448 в OEIS
• центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, … (A001844)
• центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, … (A005891)
• центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, … (A003215)
• центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, … (A069099)
• центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, … (A016754)
• центрированные девятиугольные числа 1, 10, 28, 55, 91, … (A060544, которые включают все чётные совершенные числа, за исключением 6)
• центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, … (A062786)

и так далее.

Следующие диаграммы показывают несколько примеров центрированных полигональных чисел и их геометрическое представление. (Сравните эти фигуры с фигурами в разделе Фигурные числа.)

Центрированные квадратные числа

1		5		13		25

Центрированные шестиугольные числа

1		7		19		37

Как видно из приведенных диаграмм, n-ое центрированное k-угольного число может быть получена размещением k копий (n−1)-х треугольных чисел вокруг центральной точки; поэтому, n-ое центрированное k-угольного числа может быть выражено как

${\displaystyle C_{k,n}={\frac {kn}{2}}(n-1)+1.}$

Так же как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное k-угольного число есть 1. Поэтому, для любого k, 1 является как k-угольным числом, так и центрированным k-угольным. Следующее число, являющееся как k-угольным, так и центрированным k-угольным, может быть найдено по формуле:

${\displaystyle {\frac {k^{2}}{2}}(k-1)+1}$

которая показывает, что 10 является как треугольным, так и центрированным треугольным, а 25 является как четырехугольным, так и центрированным четырехугольным.

Несмотря на то, что простое число p не может быть фигурным числом (кроме p-угольного), многие центрированные многоугольные числа являются простыми.

Ссылки

• Neil Sloane & Simon Plouffe, The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego: Academic Press (1995): Fig. M3826
• Weisstein, Eric W. Centered polygonal number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.