WikiSort.ru - Не сортированное

Предыдущая правка, очень устаревшая! Исследования показали, что уравнения Петерсона-Маинарди- Кодацци, добавленные в теории гладких поверхностей после Гаусса, являются эквивалентными уравнениями. Они эквивалентны одному уравнению Гаусса! Так, что "Король математиков" вывел все необходимое в своей работе 1827 года. Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial b_{i1}}{\partial u^{2}}}+\Gamma _{i1}^{1}b_{12}+\Gamma _{i1}^{2}b_{22}={\frac {\partial b_{i2}}{\partial u^{1}}}+\Gamma _{i2}^{1}b_{11}+\Gamma _{i2}^{2}b_{21}}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ ― коэффициенты второй квадратичной формы, ${\displaystyle \Gamma _{jk}^{i}}$ ― символы Кристоффеля.

Свойства

• Теорема Бонне. Если ${\displaystyle g=g_{ij}}$ и ${\displaystyle b=b_{ij}}$ , ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ две гладкие квадратичные формы в области ${\displaystyle U}$ удовлетворяющие уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
  • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном^[1] в 1853, переоткрыты Майнарди^[2] и Кодацци(1867)^[3].

Литература

• Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, М., 1956.

1. ↑ Peterson, K. M. "Über die Biegung der Flächen." Dorpat. Kandidatenschrift. 1853.
2. ↑ Mainardi, G. "Sulle coordinate curvilinee d'una superfice dello spazio." Giornale del R. Istituto Lombardo 9, 385—398, 1856.
3. ↑ Codazzi, D. "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio." Ann. math. pura applicata 2, 101—19, 1868—1869.