Точка Микеля — замечательная точка четырёхугольника.
Определение
Пусть четыре прямые расположены так (в общем положении), что при их пересечении образуется четыре треугольника. Тогда описанные вокруг этих треугольников окружности имеют общую точку, которая называется точкой Микеля этой конфигурации прямых.
Замечание
- Утверждение, что эти четыре окружности пересекаются в одной точке называется теоремой Микеля — Штейнера о четырёхстроннике[1].
Свойства
- Центры описанных окружностей указанных выше четырёх треугольников (синие точки на рисунке) лежат на одной (красной) окружности, проходящей через точку Микеля (зеленая на рис. выше).
- Четырёхугольник ABCD, образованный четырьмя данными прямыми: BE, BF, CE и AF, — вписан тогда и только тогда, когда точка Микеля лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.
История
Этот результат анонсирован Якобом Штейнером[2]. Полное доказательство было дано Микелем[1].
Вариации и обобщения
Теорема Микеля для пятиугольника (для пятиконечной звезды)
Пусть дан выпуклый пятиугольник ABCDE. Продолжим все его 5 сторон до тех пор, пока они не пересекутся в 5 точках F, G, H, I, K (образовав пятиконечную звезду). Опишем 5 окружностей около 5 треугольников: CFD, DGE, EHA, AIB и BKC. Тогда другие их точки взаимного пересечения (кроме A, B, C, D, E), а именно новые точки: M, N, P, R и Q лежат на одной окружности (принадлежат одной окружности)[3] (см. рис). Обратный результат известен как теорема о пяти кругах.
Теорема Микеля о шести окружностях
Пусть на окружности заданы 4 точки, А, B, C и D, и 4 окружности попарно пересекаются в этих точках, а также ещё в 4 других точках W, X, Y и Z. Тогда последние 4 точки также лежат на общей окружности. Эта теорема известна, как «теорема о шести окружностях»'[4] (см. рис).
Эту теорему иногда называют теоремой о четырёх окружностях и приписывают Якобу Штейнеру, хотя единственное известное опубликованное доказательство было дано Микелем[5].
Уэллс ссылается на эту теорему как на «теорему Микеля»[6].
Трехмерный аналог теоремы Микеля
Есть также трех-мерный аналог, в котором четыре сферы, проходящие через точки тетраэдра и точки на ребрах тетраэдра пересекаются в одной общей точке M (Уэлс, упоминая Микеля, ссылается на эту теорему как на «теорему Пиво'» (the Pivot theorem))[7].
См. также
- Теорема Микеля — другой результат Микеля
- Прямая Обера
Примечания
- 1 2 Ostermann & Wanner (2012), p. 96.
- ↑ Steiner, J. (1827/1828), "Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet", Annales de math. Т. 18: 302–304
- ↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, p. 94-97
- ↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 94
- ↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, Ostermann & Wanner 2012, p. 352
- ↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. pp. 151—152
- ↑ Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books. p. 184
Литература
- Coxeter, H.S.M. & Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, vol. 19, New Mathematical Library, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2
- Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
- Ostermann, Alexander & Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
- Pedoe, Dan (1988), Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
- Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
- Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6
 | Для улучшения этой статьи по математике желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .