WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Фа́ри — Ми́лнора — утверждает что вариация поворота любого узла превышает ${\displaystyle 4\cdot \pi }$ .

Вопрос был сформулирован Каролем Борсуком и доказан независимо Иштваном Фари в 1949 и Джоном Милнором в 1950.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K}$ — узел в трёхмерном евклидовом пространстве. Если вариация поворота ${\displaystyle K}$ не превосходит ${\displaystyle 4\cdot \pi }$ то узел ${\displaystyle K}$ — тривиальный.

В частности, если ${\displaystyle K}$ гладкий узел и ${\displaystyle k=k(p)}$ — его кривизна в точке ${\displaystyle p}$ , то

${\displaystyle \int \limits _{K}k\leqslant 4\cdot \pi ,}$

влечёт, что узел ${\displaystyle K}$ — тривиальный.

О доказательствах

Доказательство Милнора основано на варианте формулы Крофтона для вариации поворота кривой и простом факте, что проекция узла на любую прямую имеет хотябы 4 точки поворота. Доказательство Фари более сложное, оно также использует аналог формулы Крофтона для вариации поворота кривой и нетривиальный факт что вариация поворота проекции узла на любую плоскость не меньше ${\displaystyle 4\cdot \pi }$ .

Доказательство Александер и Бишопа более элементарно, оно не использует формулы Крофтона и основывается на факте, что вариация поворота вписанной ломанной не превосходит вариации поворота кривой.

Известно также доказательство основанное на существовании алтернированной четырёхкратной секущей. То есть для любого узла можно найти прямую, пересекающую его в четырёх токах ${\displaystyle a,b,c,d}$ которые появляются на прямой в том же порядке, а на кривой в порядке ${\displaystyle a,c,b,d}$ .^[1]

Вариации и обобщения

• Верно также, что любая замкнутая простая кривая в CAT(0)-пространстве с вариацией поворота меньше чем ${\displaystyle 4\cdot \pi }$ ограничивает вложенный диск^[2].
• На самом деле верно, что минимальный диск натянутый на простой замкнутый контур с вариацией поворота ${\displaystyle 4\cdot \pi }$ или меньше является вложенным^[3].

См. также

• Теорема Фенхеля о повороте кривой

Примечания

Литература

• I. Fary, Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un nœud, Bulletin de la Société Mathématique de France, 77 (1949), 128—138.

• Karol Borsuk. Sur la courbure totale des courbes fermées. Ann. Soc. Polon. Math. 20 (1947), 251–265 (1948).

• J.W. Milnor, On the total curvature of knots, Annals of Mathematics, 52 (1950), 248—257.