WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Усова о геодезической даёт точную оценку на вариацию поворота геодезической на графике выпуклой липшицевой функции.

Доказана Владимиром Усовым.^[1] Доказательство использует лемму Либермана.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}$ есть график выпуклой липшицевой функции ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \gamma }$ есть геодезическая на ${\displaystyle \Sigma }$ . Тогда вариация поворота ${\displaystyle \gamma }$ не превосходит ${\displaystyle 2\cdot L}$ , где ${\displaystyle L}$ — липшицева константа ${\displaystyle f}$ .

Эта оценка достигается например для конуса ${\displaystyle f=L\cdot {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ . Можно также сгладить функцию в окрестности нуля, получив таким образом гладкий пример с равенством.

Вариации и обобщения

• Вариация поворота кратчайшей на замкнутой выпуклой поверхности ограничена универсальной константой.^[2]

Примечания

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.