WikiSort.ru - Не сортированное

Tеорема дворецкого утверждает, что каждое нормированное векторное пространство достаточно высокой размерности содержит подпространство почти изометричное Евклидовому. Другими словами, каждое центрально-симметричное выпуклое множество достаточно высокой размерности, имеет сечение, близкое к эллипсоиду.

Формулировка

Для любого натурального числа ${\displaystyle k}$ и каждого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое натуральное число ${\displaystyle K}$ , такое, что если ${\displaystyle (X,\|{*}\|)}$ — нормированное пространство размерности ${\displaystyle K}$ , то существует подпространство ${\displaystyle E\subset X}$ размерности ${\displaystyle k}$ и положительная квадратичная форма ${\displaystyle Q}$ на ${\displaystyle E}$ , такая, что

${\displaystyle \|x\|\leq {\sqrt {Q(x)}}\leq (1+\varepsilon )\cdot \|x\|.}$

для любого ${\displaystyle x\in E}$ .

История

Теорема доказана Арье Дворецким в начале 1960-х годов^[1], отвечая на вопрос Александра Гротендика.

Новые доказательства, были найдены Виталием Мильманом в 1970-х годах.^[2] Эти доказательства послужили одной из отправных точек для развития принципа концентрации меры и асимптотического геометрического анализа.^[3]

Ссылки