WikiSort.ru - Не сортированное

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ , в которой посылка ${\displaystyle A}$ является условием теоремы, а следствие ${\displaystyle B}$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ является противоположной к ней^[1]. Здесь ${\displaystyle {\overline {A}}}$ - отрицание ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle {\overline {B}}}$ - отрицание ${\displaystyle B}$ . Доказательство необходимости и достаточности условий ${\displaystyle A}$ теоремы ${\displaystyle A\Rightarrow B}$ для её заключения ${\displaystyle B}$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ ; ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$ ) или одной из двух обратных теорем (${\displaystyle A\Rightarrow B}$ и ${\displaystyle B\Rightarrow A}$ ; ${\displaystyle {\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}}$ )^[2].

Свойства

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: ${\displaystyle (A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})}$
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: ${\displaystyle (B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})}$ ^[1]

Примеры

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$ , прямой, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ .

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ угол, противолежащий стороне ${\displaystyle c}$ , не является прямым, то ${\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}}$ .

См. также

• Обратная теорема

Примечания

Литература

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.