WikiSort.ru - Не сортированное

Правило Руффини — эффективная техника деления многочлена на бином вида ${\displaystyle x-r.}$ В 1804 году её описал Паоло Руффини.^[1] Правило Руффини — частный случай синтетического деления, когда делитель является линейным.

Алгоритм

Правило устанавливает метод для деления многочлена

${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$

на бином

${\displaystyle Q(x)=x-r}$

для получения частного

${\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}$ ;

На самом деле алгоритм осуществляет деление столбиком P(x) на Q(x).

Для того, чтобы поделить P(x) на Q(x) согласно данному алгоритму, нужно

1. Взять коэффициенты P(x) и записать их по порядку. Затем записать r слева, непосредственно над линией:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&&\\\end{array}}}$

2. Спустить крайний левый коэффициент (a_n) вниз, сразу под линию:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}$

3. Умножить крайнее правое число под линией на r и записать следующим его над линией:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}$

4. Сложить два значения, расположенные в одном столбце:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}}$

5. Повторять шаги 3 и 4 пока есть числа:

   ${\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}$

Числа b_i являются коэффициентами частного (R(x)), степень которого на единицу меньше, чем степень P(x). Последнее полученное значение s - это остаток. Согласно теореме Безу, этот остаток равен P(r).

Использование

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Правило Руффини (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Примечания