WikiSort.ru - Не сортированное

Показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha }$ (известен также как показатель Липшица) — характеристика гладкости функции. Локальный (точечный) показатель Гёльдера характеризует локальную гладкость (локальную нерегулярность) функции в точке. В общем случае показатель Гёльдера является вещественным.

Однородный показатель Гёльдера функции ${\displaystyle f}$ на множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ определяется предельным спадом его Фурье-преобразования. Сигнал ограничен и имеет однородный показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha }$ на множестве ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , если ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }|{\hat {f}}(\omega )|(1+|\omega |^{\alpha })\,d\omega <+\infty }$ .

Локальный показатель Гёльдера может быть рассчитан исходя из спада коэффициентов вейвлет-преобразования функции, находящихся на линии локальных максимумов модуля вейвлет-преобразования^[1].

Определение

Функция ${\displaystyle f}$ имеет локальный (или точечный) показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha \geqslant 0}$ в точке ${\displaystyle v}$ тогда, когда существует константа ${\displaystyle K\geqslant 0}$ и полином ${\displaystyle p_{v}}$ порядка ${\displaystyle m=\alpha }$ такой, что ${\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle |f(t)-p_{v}(t)|\leqslant K|t-v|^{\alpha }.}$

Если функция ${\displaystyle f}$ регулярна по Гёльдеру с показателем ${\displaystyle \alpha }$ (имеет однородный показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha }$ ) ${\displaystyle \alpha >m}$ в окрестности точки ${\displaystyle v}$ , то это означает что функция обязательно ${\displaystyle m}$ раз дифференцируема в этой окрестности.

Функция, которая терпит разрыв в точке ${\displaystyle v}$ , имеет показатель Гёльдера ${\displaystyle \alpha =0}$ в этой точке.

Локальный (точечный) показатель Гёльдера может произвольно изменяться во времени. Это изменение может создаваться функцией с так называемыми неизолированными нерегулярностями, где функция имеет разную регулярность по Гёльдеру в каждой точке. В противоположность, постоянный (однородный) во времени показатель Гёльдера обеспечивает более глобальное измерение регулярности, которое относится ко всему интервалу.

Говоря неформальным языком, показатель Гёльдера определяет дробную дифференцируемость функции (в точке).

См. также

• Липшицево отображение
• Показатель Хёрста

Примечания

Ссылки

• Условие Гёльдера-Липшица и его геометрический смысл

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.