WikiSort.ru - Не сортированное

Топологическое перемешивание

По определению, (непрерывная) динамическая система ${\displaystyle f:X\to X}$ называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств ${\displaystyle A,B\subset X}$ выполнено

${\displaystyle \exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,}$

или, что то же самое,

${\displaystyle \exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,}$

Это, в частности, означает, что для любых заданных ${\displaystyle \varepsilon >0}$ и непустого открытого множества ${\displaystyle A}$ все итерации ${\displaystyle A}$ с достаточно большим номером оказываются ${\displaystyle \varepsilon }$ -плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешивание

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {A}},\mu )\to (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ выполнено

${\displaystyle \mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .}$

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций ${\displaystyle \varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )}$ выполнено

${\displaystyle \int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \cdot \int _{X}\psi \,d\mu .}$

Эргодичность меры ${\displaystyle \mu }$ является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.