Парадокс спящей красавицы[источник не указан 192 дня] — парадокс теории вероятностей. Парадокс представляет собой вероятностную задачу, которая имеет несколько различных, по-своему правильных ответов, и демонстрирует, как можно манипулировать статистикой.
Автором парадокса считается Адам Элга[1]. В 1999 году задача вызвала флейм в Usenet[2].
Формулировка
Испытуемой («Спящей красавице») делается укол снотворного. Бросается симметричная монета. В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается. В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?
- Решение 1.
- У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки ½.
- Решение 2.
- Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 2⁄3.
Решение
½ — это вероятность решки при всей известной Красавице информации. Вероятностное пространство здесь таково: 1-й день, орёл — ½; 1-й день, решка — ¼; 2-й день, решка — ¼.
А 2⁄3 в таком случае — это действительная доля пробуждений с решкой с учётом того, что каждая решка даёт два пробуждения, а каждый орёл — одно.
Подобные взвешенные проценты часто встречаются и в жизни. Например: в странах СНГ более 40 % проездов в муниципальном транспорте совершается пенсионерами[3]. Действительно ли 40 % населения на пенсии? Конечно же, нет. Из-за бесплатного проезда, большого количества свободного времени и слабого здоровья пенсионеры — намного более активные пассажиры, чем все остальные. Количество пенсионеров среди пассажиров оценивается в 20 % или даже меньше[4].
Другими словами, если регистрировать каждый проезд, удаляя все предыдущие проезды пассажира, если таковые есть (как стирают память Спящей красавице), получается, 20 % ездящих — пенсионеры. Если ничего не удалять — 40 %. Какое из этих двух чисел правильное — зависит от приложения. Специалистам по рекламе нужно число 20 %: «какой процент из увидевших объявление — пенсионеры»[4]. Транспортникам важнее 40 % — «какой процент пассажиропотока ездит бесплатно».
Другие формы парадокса
Парадокс рассеянного водителя
Рассеянный профессор, засидевшись на кафедре до поздней ночи, садится в машину и возвращается домой. Правильный путь — свернуть направо на втором перекрёстке (штраф 0). Если он свернёт на первом перекрёстке, он попадёт в криминальный район — штраф 4. Если пропустит второй перекрёсток, через 20 километров будет мотель, в котором можно переночевать — штраф 3. Проблема в том, что из-за рассеянности и усталости профессор не помнит, проехал он первый перекрёсток или нет, а в свете фар перекрёстки неразличимы[2].
Стратегия «как только увидишь перекрёсток, поворачивать направо», конечно же, была отброшена — получается штраф 4. Куда полезнее стратегия «пропустить оба перекрёстка», со штрафом 3.
Итак, профессор решил воспользоваться второй стратегией. Подъезжает к перекрёстку, и у него возникает мысль: «Вероятность ½, что я на первом перекрёстке, и ½ — что на втором. Тогда средний штраф первой стратегии ½·4 + ½·0 = 2 — лучше, чем ехать в мотель». Парадокс?
Парадокс в том, что первая и третья стратегии — разные. Третья — «в 50 % случаев пропустить первый перекрёсток и свернуть на втором, в 50 % — свернуть на первом».
Спящая красавица 2
Спящая красавица уже много месяцев живёт в лаборатории (память ей не стирают). Рядом с её кроватью стоит прозрачный ящик, в котором она видит монету, но не может трогать. Через некоторое время она замечает, что решка всегда следует парами: если сегодня выпала решка, то завтра будет решка, а послезавтра — орёл или решка с вероятностью ½.
Однажды экспериментатор приходит со стирающим кратковременную память уколом (долговременные наблюдения остались). Считаем, что день выбирается наугад независимо от результатов выпадения монеты. Красавица просыпается — какова вероятность решки?[2]
Ответ 1: 5⁄8. Вероятностное пространство таково:
- орёл — решка — ¼
- орёл — орёл — ¼
- решка — память стёрта в первый день — ¼
- решка — память стёрта во второй день — орёл — 1⁄8
- решка — память стёрта во второй день — решка — 1⁄8
Ответ 2: 2⁄3 (так как 2⁄3 дней Красавица просыпалась с решкой, и ⅓ — с орлом).
Здесь нет никакой неоднозначности, правильный ответ 2. Вероятность стирания памяти под решкой всё те же 2⁄3 (а не ½, как полагает 1-й ответ), и вероятностное пространство будет соответственно 1⁄6, 1⁄6, 1⁄3, 1⁄6, 1⁄6. Нас устраивают 1-й, 3-й и 5-й исходы, что и даёт 2⁄3.
program SleepingBeauty2;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
function Test : boolean;
var
days : integer;
begin
days := Random(100) + 5;
repeat
Result := boolean(Random(2));
case Result of
false :
begin
dec(days);
if days<=0 then Exit;
end;
true :
begin
dec(days,2);
if days<=0 then Exit;
end;
end;
until false;
end;
var
i, truecount : integer;
begin
Randomize;
truecount := 0;
for i:=1 to 1000000 do begin
if Test then inc(truecount);
end;
Writeln(truecount);
Readln;
end.
См. также
Примечания
 | Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .