WikiSort.ru - Не сортированное

В математике неравенство Бесселя — утверждение о коэффициентах элемента ${\displaystyle x}$ в гильбертовом пространстве касательно ортонормированной последовательности.

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство, и ${\displaystyle e_{1},e_{2},...}$ — ортонормированная последовательность элементов ${\displaystyle H}$ . Тогда для произвольного ${\displaystyle x\in H}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}}$

где <∙,∙> обозначает скалярное произведение в пространстве ${\displaystyle H}$ . Неравенство Бесселя следует из следующего равенства:

${\displaystyle 0\leq \left\|x-\sum _{k=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle e_{k}\right\|^{2}=\|x\|^{2}-2\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}+\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\|x\|^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2},}$

которое выполняется для произвольного ${\displaystyle n\geq 1}$ .

См. также

• Равенство Парсеваля

Ссылки

• Bessel's Inequality статья на сайте MathWorld.
• П.П. Вагін, Б.А. Остудін, Г.А. Шинкаренко Основи функціонального аналізу (Курс лекцій). — Львів : Видавничий центр ЛНУ імені Івана Франка, 2005. — С. 109. — 140 с. — ISBN УДК 517.98(042.4) (недоступная ссылка)