WikiSort.ru - Не сортированное

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от ${\displaystyle n}$ переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму ${\displaystyle n}$ неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем ${\displaystyle n}$ столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ .

Формальное определение

Многочлен Шура степени ${\displaystyle d}$ , соответствующий разбиению ${\displaystyle d=d_{1}+\dots +d_{n},\quad d_{1}\geq \dots \geq d_{n}\geq 0,}$ равен^[1]

${\displaystyle s_{(d_{1},\dots ,d_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{d_{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}.}$

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура ${\displaystyle s_{\lambda }(x_{1},\dots ,x_{n})}$ , соответствующий диаграмме Юнга ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона ${\displaystyle p_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j}x_{j}^{k}}$ с коэффициентами, выражающимися через значения характера ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ соответствующего ${\displaystyle \lambda }$ представления симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ . А именно,

${\displaystyle s_{\lambda }=\sum _{\rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}\chi ^{\lambda }(\rho )\cdot \prod _{k}{\frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},}$

где запись ${\displaystyle \rho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},\dots )}$ означает, что в классе сопряжённости ${\displaystyle \rho }$ в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется ${\displaystyle r_{j}}$ циклов длины ${\displaystyle j}$ .

Ссылки

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.