WikiSort.ru - Не сортированное

В математике, особенно в теории матриц, n×n-матрица Лемера (названа в честь Деррика Генри Лемера) это постоянная симметричная матрица определяемая как:

${\displaystyle A_{ij}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i.\end{cases}}}$

Эквивалентно можно записать:

${\displaystyle A_{ij}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}.}$

Свойства

Если A n×n-матрица Лемера, а B m×m-матрица Лемера, то A является подматрицей матрицы B при m>n. Значения элементов матрицы уменьшаются при удалении от главной диагонали, элементы которой равны 1.

Интересно, что обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Снова рассмотрим матрицы Лемера A и B (n×n и m×m, соответственно, где m>n). Существенной особенностью их обратных является то, что A^-1 отличается от подматрицы матрицы B^-1 только элементом A_n,n, остальные же элементы равны.

След n×n-матрицы Лемера равен n.

Примеры

2×2, 3×3 и 4×4-матрицы Лемера и их обратные приведены ниже:

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {BrickRed}\mathbf {4/3} }\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {BrickRed}\mathbf {9/5} }\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {BrickRed}\mathbf {16/7} }\end{pmatrix}}.\\\end{array}}}$

См. также

• Лемер, Деррик Генри
• матрица Гильберта

Ссылки

• M. Newman and J. Todd, The evaluation of matrix inversion programs, Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 6, 1958, pages 466-476.