WikiSort.ru - Не сортированное

Доказательство

Доказательство основано на подсчёте числа элементов одного множества двумя способами.

Обозначим через ${\displaystyle G_{x}}$ стабилизатор элемента ${\displaystyle x\in X}$ , то есть ${\displaystyle G_{x}=\{\,g\in G\mid g\cdot x=x\,\}}$ . Заметим, что

${\displaystyle |G\cdot x|\cdot |G_{x}|=|G|,}$

где ${\displaystyle G\cdot x}$ обозначает орбиту точки ${\displaystyle x\in X}$ . Тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{g\in G}|X^{g}|&=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\\&=\sum _{x\in X}|G_{x}|=\\&=\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G\cdot x|}}=\\&=|G|\cdot \sum _{x\in X}{\frac {1}{|G\cdot x|}}=\\&=|G|\cdot \sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}=\\&=|G|\cdot \sum _{A\in X/G}1=\\&=|G|\cdot |X/G|,\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle X/G}$ обозначает пространство орбит действия.