WikiSort.ru - Не сортированное

Поверхность Ферма

Многочлен ${\displaystyle P(X,Y,Z,T)=X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+T^{3}}$ является однородным многочленом степени 3, и задаваемая им кубическая поверхность (называемая поверхностью Ферма) есть ${\displaystyle \{[X:Y:Z:T]\in \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {C} )\ |\ X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+T^{3}=0\}}$ . Эта поверхность неособая и содержит 27 прямых. В данном случае многочлен достаточно прост, чтобы явно их описать: с точностью до перестановки координат, они имеют вид ${\displaystyle [X:\rho X:Z:\rho 'Z]}$ , где ${\displaystyle \rho ,\rho '}$  — кубические корни из ${\displaystyle -1}$ . Над ${\displaystyle \mathbb {C} }$ имеется три кубических корня из −1, и комбинаторный аргумент показывает, что общее число прямых равно 27.

Над полем вещественных чисел существует только один кубический корень из −1, что даёт три прямые.

Поверхность Клебша

Поверхность Клебша — это кубическая поверхность, уравнение которой есть ${\displaystyle X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+T^{3}-(X+Y+Z+T)^{3}=0}$ , и она имеет 27 вещественных прямых:

• ${\displaystyle [X:-X:Z:-Z]}$ , с точностью до перестановки координат, — три прямые.
• ${\displaystyle [0:Y:-Y:T]}$ , с точностью до перестановки координат, — 12 прямых.
• ${\displaystyle [X:Y:-X-\phi Y:-\phi X-Y]}$ , где ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ , даёт 12 прямых.

Мы видим, что все 27 прямых лежат в проективном пространстве над полем вещественных чисел, и даже в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}\left(\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]\right)}$ .

Поверхность Кэли

Поверхность Кэли определяется уравнением

${\displaystyle XYZ+XYT+XZT+YZT=0}$

Эта поверхность особая, все четыре частные производные зануляются в четырёх точках кубики

${\displaystyle [1:0:0:0],[0:1:0:0],[0:0:1:0],[0:0:0:1]}$

Таким образом, это пример, когда теорема Кэли — Сальмона не применима. Однако эта поверхность по-прежнему содержит прямые, в частности, прямые, соединяющие особые точки.