WikiSort.ru - Не сортированное

Без потери общности можно предположить, что в односвязной области ${\displaystyle D}$ существует функция ${\displaystyle B(x,y)}$ такая, что:

${\displaystyle {\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}>0}$

Пусть ${\displaystyle C}$ — замкнутая траектория системы уравнений, которая ограничивает некоторую область ${\displaystyle S\subset D}$ . Тогда, по теореме Грина:

${\displaystyle \iint _{S}{\left({\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot f(x,y)\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(B(x,y)\cdot g(x,y)\right)}{\partial y}}\right)dxdy}=\oint _{C}{\left(B(x,y)\cdot f(x,y)\,dy-B(x,y)\cdot g(x,y)\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}.}$

Но, так как вдоль ${\displaystyle C}$ : ${\displaystyle dx={\dot {x}}\,dt}$ и ${\displaystyle dy={\dot {y}}\,dt}$ , то:

${\displaystyle \oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}\,dy-{\dot {y}}\,dx\right)}=\oint _{C}{B(x,y)\left({\dot {x}}{\dot {y}}\,dt-{\dot {y}}{\dot {x}}\,dt\right)}=0}$

Это означает, что траектория ${\displaystyle C}$ не может быть замкнутой. ■